Question

已知常數a＞0，函數f（x）=lnx-

2ax

x+2

．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若f（x）存在兩個極值點x₁，x₂，且f（x₁）+f（x₂）＞-6ln2，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（I）先求出f（x）的定義域，對f（x）進行求導，求出f（x）的導數，令f′（x）=0，求出極值點，利用導數研究函數的單調性；
（II）根據第一問知道函數的單調性，可得方程f′（x）=0的兩個根為x₁，x₂，代入f（x₁）+f（x₂），對其進行化簡，求證即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-

2ax

x+2

，
∴f′（x）=

1

x

-

2a(x+2)-2ax

(x+2)2

=

1

x

-

4a

(x+2)2

=

x2+4(1-a)x+4

x(x+2)2

，
設g（x）=x²+4（1-a）x+4，△=16a（a-2），
①當0≤a≤2，△≤0，g（x）≥0，
∴f′（x）≥0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
②當a＞2時，△＞0，f′（x）=0可得x₁=-2（1-a）-2

a2-2a

，x₂=-2（1-a）+2

a2-2a

，
若f′（x）＞0可得0＜x＜x₁或x＞x₂，f（x）為增函數，
若f′（x）＜0，可得＜x₁＜x＜x₂，f（x）為減函數，
∴函數f（x）的增區(qū)間為（0，x₁），（x₂，+∞）；減區(qū)間為（x₁，x₂）；
（2）由（1）當a＞2，函數f（x）有兩個極值點x₁，x₂，
∴x₁+x₂=4（a-1），x₁x₂=4，
∴f（x₁）+f（x₂）=lnx₁-

2ax1

x1+2

+lnx₂-

2ax2

x2+2

=ln（x₁x₂）-

4ax1x2+4a(x1+x2)

x1x2+2(x1+x2)+4

=ln4-2a=2ln2-2a，
∴2ln2-2a＞-6ln2，∴a＜4ln2．
∴0＜a＜4ln2．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數研究函數的極值，體現了數學轉化思想方法，考查了函數零點的判斷，是壓軸題．