Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）當(dāng)時，求證：時，；

（2）試討論函數(shù)的零點個數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)時，有兩個零點；當(dāng)時；有且僅有一個零點．

【解析】

試題分析：（1）首先將代入函數(shù)解析式，然后令，再通過求導(dǎo)得到的單調(diào)性，從而使問題得證；（2）首先求得，然后求得時的值，再對分類討論，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性極值與最值，即可得出函數(shù)零點的個數(shù)．

試題解析：（1）當(dāng)時，令（），則，

當(dāng)時，，，，此時函數(shù)遞增，

當(dāng)時，，當(dāng)時，………①

（2）………②，令，得，，

（i）當(dāng)時，，由②得……③

當(dāng)時，，，，此時，函數(shù)為增函數(shù)，

時，，，時，，

故函數(shù)，在上有且只有一個零點；

（ii）當(dāng)時，，且，

由②知，當(dāng)，，，，

此時，；同理可得，當(dāng)，；當(dāng)時，；

函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為

故，當(dāng)時，，當(dāng)時，

函數(shù)，有且只有一個零點；

又，構(gòu)造函數(shù)，，則

……④，易知，對，，函數(shù)，

為減函數(shù)，

由，知，……⑤

構(gòu)造函數(shù)（），則，當(dāng)時，，當(dāng)

時，，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，

有，則，

，當(dāng)時，……⑥

而……⑦

由⑥⑦知……⑧

又函數(shù)在上遞增，

由⑤⑧和函數(shù)零點定理知，，使得

綜上，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，

綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，

當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點．