已知存在正整數(shù)k，使得對任意實數(shù)x，式子sinkx•sinkx+coskx•coskx-cosk2x的值為同一常數(shù)，則滿足條件的正整數(shù)k=
3
3
．
分析：記f（x）=sinkx•sinkx+coskx•coskx-cosk2x，則由條件f（x）恒為同一常數(shù)，取x=
π
2
，得k為奇數(shù)，設k=2n-1，上式成為sin（nπ-
π
2
）=-1，因此n為偶數(shù)，令n=2m，則k=4m-1從而得出正整數(shù)k的值．
解答：解：記f（x）=sinkx•sinkx+coskx•coskx-cosk2x，
則由條件f（x）恒為同一常數(shù)，取x=
π
2
，得f（x）=sin
kπ
2
-（-1）k，則k為奇數(shù)． 
設k=2n-1，上式成為f（x）=sin（nπ-
π
2
）+1，因此n為偶數(shù)，
令n=2m，則k=4m-1，故只有k=3滿足題意，
故答案為：3
點評：本題考查函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了特殊值的思想，得到k為奇數(shù)，設k=2n-1，在得到n為偶數(shù)，這是解題的難點．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•普寧市模擬）已知函數(shù)f（x）的定義域是{x|x∈R，x≠
k
2
，k∈Z}且f（x）+f（2-x）=0，f(x+1)=-
1
f(x)
，當0＜x＜
1
2
時，f（x）=3x．
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）求f（x）在區(qū)間(2k+
1
2
，2k+1)(k∈Z）上的解析式；
（3）是否存在正整數(shù)k，使得當x∈(2k+
1
2
，2k+1)時，不等式log3f（x）＞x2-kx-2k有解？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）已知數(shù)列，

定義其倒均數(shù)是。

   （1）求數(shù)列{}的倒均數(shù)是，求數(shù)列{}的通項公式；

   （2）設等比數(shù)列的首項為－1，公比為，其倒數(shù)均為，若存在正整數(shù)k，使得當恒成立，試找出一個這樣的k值（只需找出一個即可，不必證明）

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科目：高中數(shù)學 來源：2011屆福建省廈門外國語學校高三上學期11月月考理科數(shù)學卷 題型：解答題

（本小題滿分13分）已知數(shù)列，定義其倒均數(shù)是。
（1）求數(shù)列{}的倒均數(shù)是，求數(shù)列{}的通項公式；
（2）設等比數(shù)列的首項為－1，公比為，其倒數(shù)均為，若存在正整數(shù)k，使恒成立，試求k的最小值。

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科目：高中數(shù)學 來源：2008-2009學年廣東省六校聯(lián)合體高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷（文科）（仲元中學、中山一中、寶安中學、潮陽一中、南海中學、普寧二中）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）的定義域是且f（x）+f（2-x）=0，，當時，f（x）=3x．
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）求f（x）在區(qū)間Z）上的解析式；
（3）是否存在正整數(shù)k，使得當x∈時，不等式log3f（x）＞x2-kx-2k有解？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年上海市長寧區(qū)高考數(shù)學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）的定義域是且f（x）+f（2-x）=0，，當時，f（x）=3x．
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）求f（x）在區(qū)間Z）上的解析式；
（3）是否存在正整數(shù)k，使得當x∈時，不等式log3f（x）＞x2-kx-2k有解？證明你的結論．

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