Question

17．設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²+（3a-1）x，若函數(shù)y=f（x）-|e^x-1|有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（0，\frac{2}{3}]$．

Answer 1

分析 由已知求出函數(shù)解析式，把函數(shù)y=f（x）-|e^x-1|有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=|e^x-1|的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．然后分1-3a≥0和1-3a＜0畫出函數(shù)圖象，利用原點(diǎn)處曲線斜率的關(guān)系求解．

解答 解：設(shè)x＞0，則-x＜0，
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-x²+（3a-1）x，
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（3a-1）x，x≤0}\\{-{x}^{2}+（3a-1）x，x＞0}\end{array}\right.$．
函數(shù)y=f（x）-|e^x-1|有兩個(gè)零點(diǎn)，即y=f（x）與y=|e^x-1|的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．
函數(shù)f（x）=x²+（3a-1）x的兩個(gè)零點(diǎn)為0，1-3a；函數(shù)f（x）=-x²+（3a-1）x的兩個(gè)零點(diǎn)為0，3a-1．
當(dāng)1-3a≥0，即a≤$\frac{1}{3}$時(shí)，作出函數(shù)圖象如圖：

f（x）=-x²+（3a-1）x與y=|e^x-1|的圖象無交點(diǎn)，
y=1-e^x在x=0處的導(dǎo)數(shù)值為-e⁰=-1，函數(shù)f（x）=x²+（3a-1）x的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=2x+（3a-1）．
要使f（x）=x²+（3a-1）x的圖象與y=|e^x-1|的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則f′（0）=3a-1＜-1，得a＞0，
∴0＜a$≤\frac{1}{3}$；
當(dāng)1-3a＜0，即a＞$\frac{1}{3}$時(shí)，作出函數(shù)圖象如圖：

f（x）=x²+（3a-1）x的圖象與y=|e^x-1|的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
y=e^x-1在x=0處的導(dǎo)數(shù)值為e⁰=1，函數(shù)f（x）=-x²+（3a-1）x的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=-2x+（3a-1）．
要使f（x）=-x²+（3a-1）x與y=|e^x-1|的圖象無交點(diǎn)，則f′（0）=3a-1≤1，得a$≤\frac{2}{3}$．
∴$\frac{1}{3}＜a≤\frac{2}{3}$．
綜上，若函數(shù)y=f（x）-|e^x-1|有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{2}{3}$]．
故答案為：（0，$\frac{2}{3}$]．

點(diǎn)評 本題考查根的存在性與根的個(gè)數(shù)判斷，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是壓軸題．