Question

6．（理科）已知函數(shù)f（x）=e^ax•（$\frac{a}{x}$+a+1），其中a≥-1．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若存在x₁＞0，x₂＜0，使得f（x₁）＜f（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及取特殊值方法求出a的具體范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=a{e^{ax}}\frac{（x+1）[（a+1）x-1]}{x^2}$
①當(dāng)a=-1時(shí)，令f′（x）=0，解得 x=-1，
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1）；單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），（0，+∞）；
當(dāng)a≠-1時(shí)，令f′（x）=0，解得 x=-1，或$x=\frac{1}{a+1}$，
②當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），$（\frac{1}{a+1}，+∞）$
單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），$（0，\frac{1}{a+1}）$；
③當(dāng)a=0時(shí)，f（x）為常值函數(shù)，不存在單調(diào)區(qū)間；
④當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，0），$（0，\frac{1}{a+1}）$，
單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），$（\frac{1}{a+1}，+∞）$；
（Ⅱ）①當(dāng)a＞0時(shí)，若x∈（0，+∞），
$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{a+1}）={e^{\frac{a}{a+1}}}{（a+1）^2}＞1$，
若x∈（-∞，0），$f{（x）_{max}}=f（-1）={e^{-a}}＜1$，不合題意；
②當(dāng)a=0時(shí)，顯然不合題意；
③當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，取${x_1}=-\frac{a}{2}$，則$f（{x_1}）={e^{-\frac{a^2}{2}}}（a-1）＜0$，
取x₂=-1，則$f（{x_2}）={e^{-a}}＞0$，符合題意；
④當(dāng)a=-1時(shí)，取x₁=1，則$f（{x_1}）=-{e^{-1}}＜0$，
取x₂=-1，則$f（{x_2}）={e^{-a}}＞0$，符合題意；
綜上，a的取值范圍是[-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．