【答案】
分析:(1)根據(jù)題意,B
1O⊥平面ABC,BO=AO=1,B
1O=

且OC⊥AB.分別以OC,OA,OB
1為x軸、y軸和z軸,建立如圖空間直角坐標系,得出A、B、C
1、B
1各點的坐標,從而得到向量

和

的坐標,通過計算數(shù)量積得B
1C⊥AC
1,再結(jié)合菱形BB
1C
1C中B
1C⊥C
1B,可得B
1C⊥平面ABC
1;
(2)由面面垂直的判定與性質(zhì),可得OC⊥側(cè)面AA
1B
1B,得平面AA
1B
1B的一個法向量為

=(

,0,0),再利用數(shù)量積為0的方法建立方程組,解出平面AB
1C的一個法向量

=(1,

,1),從而算出向量

,

夾角的余弦之值,最終得到二面角C-AB
1-B的余弦值.
解答:解:(1)∵點B
1在平面ABC上的射影O為AB的中點,斜三棱柱ABC-A
1B
1C
1的各棱長均為2,

∴B
1O⊥平面ABC,BO=AO=1,B
1O=

,OC⊥AB
故分別以OC,OA,OB
1為x軸、y軸和z軸,建立如圖空間直角坐標系,得A(0,1,0),B(0,-1,0),C
1(

,1,

),B
1(0,0,

),
∴

=(-

,0,

),

=(

,0,

)
可得

•

=-

×

+0×0+

×

=0
∴

⊥

,即B
1C⊥AC
1,
∵菱形BB
1C
1C中,對角線B
1C⊥C
1B,AC
1∩C
1B=C
1∴B
1C⊥平面ABC
1;
(II)∵B
1O⊥平面ABC,B
1O?側(cè)面AA
1B
1B,∴側(cè)面AA
1B
1B⊥平面ABC,
∵△ABC中,中線OC⊥AB,側(cè)面AA
1B
1B∩平面ABC=AB,
∴OC⊥側(cè)面AA
1B
1B,可得平面AA
1B
1B的一個法向量為

=(

,0,0),
設

=(x,y,z)是平面AB
1C的一個法向量,得

,
取x=z=1,得y=

,所以

=(1,

,1)
∴cos<

,

>=

=

=

,
再結(jié)合圖形,可得二面角C-AB
1-B的余弦值等于

.
點評:本題在所有棱長都為2的斜三棱柱中,求證線面垂直并求二面角的余弦值,著重考查了直線與平面垂直的判定和用空間向量求平面間的夾角等知識,屬于中檔題.