Question

20．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1．
（1）求數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{2}^{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求出數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}的通項(xiàng)公式，
（2）利用錯(cuò)位相減法即可求出前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）由a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2$\sqrt{{S}_{1}}$-1=2$\sqrt{{a}_{1}}$-1，解得S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1，得（$\sqrt{{S}_{n}}$-1）²=S_n-1，
∵a_n＞0，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{{S}_{n-1}}$+1，
∴{$\sqrt{{S}_{n}}$}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=n，
（2）∵a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1=2n-1，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{2}^{n}}$=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=3•（$\frac{1}{2}$）¹+5•（$\frac{1}{2}$）²+…
+（2n-1）（$\frac{1}{2}$）^n-1+（2n+1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴2T_n=3+5•（$\frac{1}{2}$）¹+…+（2n-1）（$\frac{1}{2}$）^n-2+（2n+1）（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴T_n=3+2[（$\frac{1}{2}$）¹+（$\frac{1}{2}$）²+…+（$\frac{1}{2}$）^n-2]-（2n+1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=3+$\frac{1×（1-（\frac{1}{2}）^{n-1}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n+1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題