(12分)如圖已知直角梯形所在的平面垂直于平面
,
,
,
.
(I)在直線上是否存在一點(diǎn)
,使得
平面
?請證明你的結(jié)論;
(II)求平面與平面
所成的銳二面角
的余弦值。
(I)見解析;(2).
【解析】(1)先確定線段的中點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)
.再取
的中點(diǎn)
,證明四邊形
為矩形,四邊形
是平行四邊形.由線面平行的判定定理證出結(jié)論;
(2)可以根據(jù)二面角的定義找出二面角的平面角求解,關(guān)鍵是找到二面角的棱,由平面平面
,
平面
,
。∴
是所求二面角的平面角.在三角形中求解;也可以建立坐標(biāo)系利用法向量求解。
(I)線段的中點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)
.
證明如下:
取的中點(diǎn)
連結(jié)
,則
,
, …………………2分
取的中點(diǎn)
,連結(jié)
,
∵且
,
∴△是正三角形,∴
.
∴四邊形為矩形,∴
.又∵
,………3分
∴且
,四邊形
是平行四邊形.…………4分
∴,而
平面
,
平面
,∴
平面
.……6分
(2)(法1)過作
的平行線
,過
作
的垂線交
于
,連結(jié)
,∵
,∴
,
是平面
與平面
所成二面角的棱.……8分
∵平面平面
,
,∴
平面
,
又∵平面
,
∴
平面
,∴
,
∴是所求二面角的平面角.………………10分
設(shè),則
,
,
∴,
∴. ………12分
(法2)∵,平面
平面
,
∴以點(diǎn)為原點(diǎn),直線
為
軸,直線
為
軸,建立空間直角坐標(biāo)系
,則
軸在平面
內(nèi)(如圖).設(shè)
,由已知,得
,
,
.
∴,
,…………………8分
設(shè)平面的法向量為
,
則且
,
∴∴
解之得
取,得平面
的一個法向量為
. ………10分
又∵平面的一個法向量為
.
……11分
.………12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江西南昌市高三第二次模擬測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖已知:菱形所在平面與直角梯形
所在平面互相垂直,
,
點(diǎn)
分別是線段
的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面
;
(2)點(diǎn)在直線
上,且
//平面
,求平面
與平面
所成角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆湖北省武漢市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分12分)如圖5,已知直角梯形所在的平面垂直于平面
,
,
,
.
(1)在直線上是否存在一點(diǎn)
,使得
平面
?請證明你的結(jié)論;
(2)求平面與平面
所成的銳二面角
的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年湖北省高三上學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
如圖,已知直角梯形所在的平面垂直于平面
(1)的中點(diǎn)為
,求證
∥面
(2)求平面與平面
所成的銳二面角
的余弦值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年福建省三明市高三上學(xué)期三校聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題
(本題滿分13分) 如圖5,已知直角梯形所在的平面
垂直于平面,
,
,
. (1)在直線
上是否存在一點(diǎn)
,使得
平面
?請證明你的結(jié)論;
(2)求平面與平面
所成的銳二面角
的余弦值。
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