分析 曲線C:ρ=$\frac{2}{cosθ+2sinθ}$,不妨設(shè)A(ρ1,θ),B$({ρ}_{2},θ+\frac{π}{2})$,代入化簡利用直角三角形面積計(jì)算公式即可得出.
解答 解:曲線C:ρ=$\frac{2}{cosθ+2sinθ}$,
不妨設(shè)A(ρ1,θ),B$({ρ}_{2},θ+\frac{π}{2})$,
則ρ1=$\frac{2}{cosθ+2sinθ}$,ρ2=$\frac{2}{cos(θ+\frac{π}{2})+2sin(θ+\frac{π}{2})}$=$\frac{2}{2cosθ-sinθ}$,
∴S△AOB=$\frac{1}{2}×$|ρ1ρ2|=$\frac{2}{|2co{s}^{2}θ-2si{n}^{2}θ+3sinθcosθ|}$=$\frac{2}{|2cos2θ+\frac{3}{2}sin2θ|}$=$\frac{4}{|5sin(2θ+φ)|}$$≤\frac{4}{5}$,當(dāng)且僅當(dāng)sin(2θ+φ)=±1時(shí)取等號(hào).
∴△AOB面積的最小值為$\frac{4}{5}$.
故答案為:$\frac{4}{5}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程的應(yīng)用、三角函數(shù)求值、三角形面積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 3x+4y-20=0 | B. | 4x+3y-4=0 | C. | 3x-4y-15=0 | D. | 4x-3y+4=0 |
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