Question

15．在極坐標(biāo)系中，曲線C：ρ=$\frac{2}{cosθ+2sinθ}$，A，B是曲線C上的兩點(diǎn)，O為極點(diǎn)，∠AOB=$\frac{π}{2}$，則△AOB面積的最小值為$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 曲線C：ρ=$\frac{2}{cosθ+2sinθ}$，不妨設(shè)A（ρ₁，θ），B$（{ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}）$，代入化簡(jiǎn)利用直角三角形面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：曲線C：ρ=$\frac{2}{cosθ+2sinθ}$，
不妨設(shè)A（ρ₁，θ），B$（{ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}）$，
則ρ₁=$\frac{2}{cosθ+2sinθ}$，ρ₂=$\frac{2}{cos（θ+\frac{π}{2}）+2sin（θ+\frac{π}{2}）}$=$\frac{2}{2cosθ-sinθ}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×$|ρ₁ρ₂|=$\frac{2}{|2co{s}^{2}θ-2si{n}^{2}θ+3sinθcosθ|}$=$\frac{2}{|2cos2θ+\frac{3}{2}sin2θ|}$=$\frac{4}{|5sin（2θ+φ）|}$$≤\frac{4}{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)sin（2θ+φ）=±1時(shí)取等號(hào)．
∴△AOB面積的最小值為$\frac{4}{5}$．
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程的應(yīng)用、三角函數(shù)求值、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．