Question

某城市2002年末糧食儲備量為100萬噸，預(yù)計此后每年耗用上一年末糧食儲備量的5%，并且每年新增糧食儲備量均為x萬噸、
（I）記2002年末的糧食儲備量為a₁萬噸，以后各年末的糧食儲備量依次為a₂萬噸，a₃萬噸，…、寫出a₁，a₂，a₃和a_n（n∈N）的表達(dá)式；
（II）受條件限制，該城市的糧食儲備量不能超過150萬噸，那么每年新增糧食儲備量不應(yīng)超過多少萬噸？

Answer 1

分析：（I）由題設(shè)知a₁=100，a₂=0.95×100+x，a₃=0.95a₂+x=0.95²×100+0.95x+x.an=0.95n-1a1+x(1+0.95+…+0.95n-2)=0.95n-1?100+

1-0.95n-1

0.05

x=20x+（100-20x）•0.95^n-1．
（II）當(dāng)100-20x≥05時，a_n+1≤a_n≤…≤a₂≤a₁=100；當(dāng)100-20x＜0時，

lim

x→∞

an=

lim

x→∞

[20x+(100-20x)?0.95n-1]=20x．由此可以導(dǎo)出每年新增糧食儲備量不應(yīng)超過7.5萬噸．

解答：（I）解：a₁=100，a₂=0.95×100+x，a₃=0.95a₂+x=0.95²×100+0.95x+x（3分）
對于n＞2，有a_n=0.95a_n-1+x=0.95²×a_n-2+（1+0.95）x
∴an=0.95n-1a1+x(1+0.95+…+0.95n-2)=0.95n-1?100+

1-0.95n-1

0.05

x
=20x+（100-20x）•0.95^n-1（6分）
（II）解：當(dāng)100-20x≥0，即x≤5時，a_n+1≤a_n≤≤a₂≤a₁=100；（8分）
當(dāng)100-20x＜0，即x＞5時，

lim

x→∞

an=

lim

x→∞

[20x+(100-20x)?0.95n-1]=20x
并且數(shù)列a_n的逐項增加，可以任意靠近20x．
因此，如果要求糧食儲備不超過150萬噸，則a_n＜150，即20x≤150
∴x≤0，75．所以，每年新增糧食儲備量不應(yīng)超過7.5萬噸（12分）

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的靈活運用．