Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-1|-1．
（1）求滿足f（x）=x的x值；
（2）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）解不等式f（x）＜0（結(jié)果用區(qū)間表示）．

Answer 1

解：（1），…
所以，當(dāng)x≥1時(shí)，由f（x）=x得x²-x-1=x，x²-2x-1=0，解得，
因?yàn)閤≥1，所以．…
當(dāng)x＜1時(shí)，由f（x）=x得-x²+x-1=x，x²=-1，無實(shí)數(shù)解．…
所以，滿足f（x）=x的x值為．…
（2）由，
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，+∞）；…
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為．…
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是和[1，+∞）．…
（3）當(dāng)x≥1時(shí)，由x²-x-1＜0得，…
當(dāng)x＜1時(shí)，由-x²+x-1＜0得x²-x+1＞0，恒成立．…
所以，不等式f（x）＜0的解集為．…
分析：（1）討論x的范圍，將絕對值去掉得到分段函數(shù)，然后求解方程f（x）=x，即可求出滿足條件的x；
（2）分段研究該函數(shù)的單調(diào)性，從而求出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)x≥1時(shí)，解不等式x²-x-1＜0，當(dāng)x＜1時(shí)，由-x²+x-1＜0得x²-x+1＞0，恒成立，從而求出滿足條件的x的范圍．
點(diǎn)評：本題主要考查了含絕對值的函數(shù)的單調(diào)性以及解方程，同時(shí)考查了分段討論的思想，屬于中檔題．