Question

某工廠引入一條生產線，投人資金250萬元，每生產x千件，需另投入成本w（x），當年產量不足80干件時，w（x）=

1

3

x²+10x（萬元），當年產量不小于80千件時，w（x）=51x+

10000

x

-1450（萬元），當每件商品售價為500元時，該廠產品全部售完．
（Ⅰ）寫出年利潤L（x）（萬元）與年產量x（千件）的函數(shù)關系式；
（Ⅱ）年產量為多少千件時該廠的利潤最大．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：計算題,應用題,函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）由題意可得x千件銷售額0.05×1000x=50x萬元，從而寫出0＜x＜80和x≥80時的函數(shù)關系式，進而用分段函數(shù)表示出年利潤L（x）（萬元）與年產量x（千件）的函數(shù)關系式；
（Ⅱ）由題意分別求0＜x＜80和x≥80時函數(shù)的最大值，從而確定年產量為多少千件時該廠的利潤最大．

解答： 解：（Ⅰ）當每件商品售價為0.05萬元時，x千件銷售額0.05×1000x=50x（萬元）
當0＜x＜80時，L（x）=50x-（

1

3

x²+10x）-250=-

1

3

x²+40x-250；
當x≥80時，L（x）=50x-（51x+

10000

x

-1450）-250=1200-（x+

10000

x

）；
故L（x）=

- 1 3 x2+40x-250，0＜x＜80 1200-(x+ 10000 x )，x≥80

；
（Ⅱ）當0＜x＜80時，L（x）=-

1

3

x²+40x-250；
當x=60時，L（x）有最大值為950；
當x≥80時，L（x）=1200-（x+

10000

x

）；
當且僅當x=

10000

x

，即x=100時，
L（x）有最大值為1000；
∴年產量為100千件時該廠的利潤最大．

點評：本題考查了學生將實際問題轉化為數(shù)學問題的能力，同時考查了分段函數(shù)的應用，屬于中檔題．