Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax²-1，f（x）在區(qū)間（0，2）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為y=e^x和y=2ax在（0，2）2個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求出a的范圍即可．

解答 解：f（x）=e^x-ax²-1，
f′（x）=e^x-2ax，
若f（x）在區(qū)間（0，2）有兩個(gè)極值點(diǎn)，
則y=e^x和y=2ax在（0，2）2個(gè)交點(diǎn)，
如圖示（1）：
，
將x=2代入y=e^x中得：y=e²，
故A（2，e²），
由e²＞2a•2，解得：a＜$\frac{{e}^{2}}{4}$，
如圖示（2）：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{0}}=2a}\\{{e}^{{x}_{0}}=2{ax}_{0}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1}\\{a=\frac{e}{2}}\end{array}\right.$，
故2a＞e，解得：a＞$\frac{e}{2}$，
故答案為（$\frac{e}{2}$，$\frac{{e}^{2}}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查函數(shù)極值問題，是一道中檔題．