Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足an+2Sn•Sn-1=0(n≥2)，a1=

1

2

．
（1）求證：{

1

Sn

}是等差數(shù)列；
（2）求a_n的表達式；
（3）若b_n=-2a_n（n≥2），求證：b₂+b₃+…+b_n＜1．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)-a_n=2S_n•S_n-1，可得-S_n+S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2），從而可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，故可得{

1

Sn

}是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）得Sn=

1

2n

，再利用當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

，當n=1時，S1=a1=

1

2

，即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)b_n=-2a_n（n≥2），求出b_n=，再用裂項法求和，即可證得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵-a_n=2S_n•S_n-1，∴-S_n+S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2），S_n≠0（n=1，2，3…）-----------（1分）
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2
又

1

S1

=

1

a1

=2，
∴{

1

Sn

}是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列---------------（4分）
（2）解：由（1）得

1

Sn

=2+(n-1)•2=2n，∴Sn=

1

2n

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

當n=1時，S1=a1=

1

2

∴an=

1 2 ，n=1 - 1 2n(n-1) ，n≥2

--------------（8分）
（3）證明：由上知，bn=-2an=-2[-

1

2n(n-1)

]=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

---------------（10分）
∴b₂+b₃+…+b_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=1-

1

n

＜1．---------------（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項的求法，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項，利用裂項法求和．