解:(1)由題可得f′(x)=2x
所以過曲線上點(x
0,f(x
0))的切線方程為y-f(x
n)=f′(x
n)(x-x
n),
即y-(x
n-4)=2x
n(x-x
n)
令y=0,得-(x
n2-4)=2x
n(x
n+1-x
n),即x
n2+4=2x
nx
n+1顯然x
n≠0,∴x
n+1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64278.png)
+
(2)由x
n+1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64278.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64279.png)
知x
n+1+2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64280.png)
,x
n+1-2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64281.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64282.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64283.png)
∴a
n+1=lg
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64282.png)
=2lg
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64277.png)
,即a
n+1=2a
n,其中a
1=lg3≠0
∴數(shù)列{a
n}是以lg3為首項,2為公比的等比數(shù)列,
∴a
n=2
n-1lg3,即lg
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64277.png)
=2
n-1lg3,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64284.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64285.png)
.
分析:(1)先對函數(shù)f(x)=x
2-4進行求導,進而可得到過曲線上點(x
0,f(x
0))的切線方程,然后令y=0得到關(guān)系式x
n2+4=2x
nx
n+1,整理即可得到答案.
(2)首先確定
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64282.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64283.png)
,再利用條件,即可得到數(shù)列{a
n}是以lg3為首項,2為公比的等比數(shù)列,從而可求數(shù)列{x
n}的通項公式.
點評:本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線在某點處的切線,以及導數(shù)的幾何意義,考查等比數(shù)列的判定,考查學生的計算能力,屬于中檔題.