（1）已知函數(shù)f(x)=lg
1-x
1+x
．判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明．
（2）設函數(shù)f(x)=1-
2
2x+1
．證明函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)．
分析：（1）先判斷函數(shù)f(x)=lg
1-x
1+x
的定義域是否關于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關系，進而結合函數(shù)奇偶性的定義，可得答案；
（2）取任意x1、x2∈R，且x1＜x2，比較f（x2）與f（x1）的大小，進而根據(jù)函數(shù)單調的定義，可得答案．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，理由如下：
函數(shù)f(x)=lg
1-x
1+x
的定義域（-1，1）關于原點對稱
又∵f(-x)=lg
1-(-x)
1+(-x)
=lg
1+x
1-x
=lg(
1-x
1+x
)-1=-lg
1-x
1+x
=-f（x）
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
證明：（2）取任意x1、x2∈R，且x1＜x2，
則0＜2x1＜2x2
∴2x1+1＞0，2x2+1＞0，2x2-2x1＞0
∴f（x2）-f（x1）=（1-
2
2x2+1
）-（1-
2
2x1+1
）=
2
2x1+1
-
2
2x2+1
=
2(2x2-2x1)
(2x1+1)(2x1+1)
＞0
∴f（x1）＜f（x2）
∴函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)
點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的證明與判斷，函數(shù)單調性的證明與判定，熟練掌握定義法證明函數(shù)單調性和奇偶性的步驟是解答的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知下列命題：（1）已知函數(shù)f(x)=x+
p
x-1
（p為常數(shù)且p＞0），若f（x）在區(qū)間（1，+∞）的最小值為4，則實數(shù)p的值為
9
4
； （2）?x∈[0，
π
2
]，sinx+cosx＞
2
；（3）正項等比數(shù)列{an}中：a4．a6=8，函數(shù)f（x）=x（x+a3）（x+a5）（x+a7），則f′(0)=16
2
；（4）若數(shù)列{an}的前n項和為Sn=2n2-n+1，且bn=2an+1，則數(shù)列{bn}前n項和為Tn=4n2-n+2上述命題正確的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知函數(shù)f(x)=sin(
1
2
x+
π
4
)，求函數(shù)在區(qū)間[-2π，2π]上的單調增區(qū)間；
（2）計算：tan70°cos10°(
3
tan20°-1)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于定義在集合D上的函數(shù)y=f（x），若f（x）在D上具有單調性，且存在區(qū)間[a，b]⊆D（其中a＜b），使當x∈[a，b]時，
f（x）的值域是[a，b]，則稱函數(shù)f（x）是D上的正函數(shù)，區(qū)間[a，b]稱為f（x）的“等域區(qū)間”．
（1）已知函數(shù)f(x)=
x
是[0，+∞）上的正函數(shù)，試求f（x）的等域區(qū)間．
（2）試探究是否存在實數(shù)k，使函數(shù)g（x）=x2+k是（-∞，0）上的正函數(shù)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

問題1：已知函數(shù)f(x)=
x
1+x
，則f(
1
10
)+f(
1
9
)+…+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+…+f（9）+f（10）=
19
2
19
2
．
我們若把每一個函數(shù)值計算出，再求和，對函數(shù)值個數(shù)較少時是常用方法，但函數(shù)值個數(shù)較多時，運算就較繁鎖．觀察和式，我們發(fā)現(xiàn)f(
1
2
)+f(2)、…、f(
1
9
)+f(9)、f(
1
10
)+f(10)可一般表示為f(
1
x
)+f(x)=
1
x
1+
1
x
+
x
1+x
=
1
1+x
+
x
1+x
=
1+x
1+x
=1為定值，有此規(guī)律從而很方便求和，請求出上述結果，并用此方法求解下面問題：
問題2：已知函數(shù)f(x)=
1
2x+
2
，求f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a是實數(shù)，f(x)=a-
2
1+2x
(x∈R)
（1）已知函數(shù)f(x)=a-
2
1+2x
(x∈R)是奇函數(shù)，求實數(shù)a的值．
（2）試證明：對于任意實數(shù)a，f（x）在R上為增函數(shù)．

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