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已知點Pn（an，bn）滿足數學公式，且數學公式．
（1）求點P1坐標，并寫出過點P0，P1的直線L的方程；
（2）猜測點Pn（n≥2）與直線L的位置關系，并加以證明；
（3）求數列{an}與{bn}的通項公式（n∈N*）．

解：（1）由得，得P1坐標為（）（2分）
顯然直線L的方程為x+y=1（4分）
（2）由得，∴點P2∈L，
猜想點Pn（n≥2，n∈N）在直線L上，（6分）
以下用數學歸納法證明：
當n=2時，點P2∈L
當n=k（k≥2）時，點Pk∈L，即ak+bk=1，
則當n=k+1時，ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=，
∴點Pk+1∈L∴點Pn∈L（n≥2）（11分）
（3）由an+1=anbn+1，bn+1=，an+bn=1
得an+1=
∴（14分）
∴是等差數列，∴，
∴（18分）
分析：解：（1）由得，得P1坐標為（），最后寫出直線L的方程即可；
（2）由條件得出點P2∈L，猜想點Pn（n≥2，n∈N）在直線L上．再利用用數學歸納法證明．
（3）由an+1=anbn+1，得出an+1=從而得出故有：是等差數列，最后根據等差數列的通項公式即可求得數列{an}與{bn}的通項公式．
點評：本題考查直線的一般式方程、數列遞推式、數列和解析幾何的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（理）已知點A（1，0），B（0，1）和互不相同的點P1，P2，P3，…，Pn，…，滿足
OPn
=an
OA
+bn
OB
(n∈N*)，O為坐標原點，其中{an}、{bn}分別為等差數列和等比數列，P1是線段AB的中點，對于給定的公差不為零的an，都能找到唯一的一個bn，使得P1，P2，P3，…，Pn，…，都在一個指數函數
 
（寫出函數的解析式）的圖象上．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點集L={（x，y）|y=
m
•
n
}，其中
m
=（2x-b，1），
n
=（1，b+1），點列Pn（an，bn）（n∈N+）在L中，p1為L與y軸的交點，數列{an}是公差為1的等差數列．
（Ⅰ）求數列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）若f（n）=
an，(n為奇數)
bn，(n為偶數)
，令Sn=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n），試寫出Sn關于n的表達式；
（Ⅲ）若f（n）=
an，(n為奇數)
bn，(n為偶數)
，給定奇數m（m為常數，m∈N+，m＞2）．是否存在k∈N+，，使得
f（k+m）=2f（m），若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點集L={(x，y)|y=
m
•
n
}，其中
m
=（2x-b，1），
n
=（1，b+1），點列Pn（an，bn）在L中，P1為L與y軸的交點，等差數列{an}的公差為1，n∈N*．
（I）求數列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）若f(n)=
an  n為正奇數
bn  n為正偶數
，令Sn=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）；試寫出Sn關于n的函數解析式；

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點集L={(x，y)|y=
m
•
n
}，其中
m
=(2x-b，1)，
n
=(1，1+b)，又知點列Pn（an，bn）∈L，P1為L與y軸的交點．等差數列{an}的公差為1，n∈N*．
（Ⅰ）求Pn（an，bn）；
（Ⅱ）若f(n)=
an，n=2k-1
bn，n=2k
k∈N*，f(k+11)=2f(k)，求出k的值；
（Ⅲ）對于數列{bn}，設Sn是其前n項和，是否存在一個與n無關的常數M，使
Sn
S2n
=M，若存在，求出此常數M，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點集L={(x，y)|y=
m
•
n
}，其中
m
=(2x-b，1)，
n
=(1，b+1)，點列Pn（an，bn）在L中，P1為L與y軸的交點，等差數列{an}的公差為1，n∈N+．
（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（2）若f(n)=
an(n=2k-1)
bn(n=2k)
(k∈N+)，是否存在k∈N+使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
（3）求證：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
（n≥2，n∈N*）．

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