Question

設(shè)f（x）=e^x（ax²+3），其中a為實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求f（x）的極值；
（2）若f（x）為[1，2]上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，有f（x）=e^x（-x²+3），求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求極值；
（2）要使f（x）為[1，2]上的單調(diào)函數(shù)，則f′（x）=e^x（ax²+2ax+3）≥0或f′（x）=e^x（ax²+2ax+3）≤0恒成立，從而轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，有f（x）=e^x（-x²+3），
f′（x）=e^x（-x²+3）-2xe^x
=-e^x（x+3）（x-1），
由f′（x）＞0得，x∈（-3，1），
故f（x）在（-3，1）上單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得，x∈（-∞，-3），（1，+∞），
故f（x）在（-∞，-3），（1，+∞），上單調(diào)遞減，
∴f_極小值（x）=f（-3）=-6e^-3，f_極小值（x）=f（1）=2e．
（2）要使f（x）為[1，2]上的單調(diào)函數(shù)，
則f′（x）=e^x（ax²+2ax+3）≥0或
f′（x）=e^x（ax²+2ax+3）≤0恒成立，
即a≥（

-3

x2+2x

）_max=-

3

8

，
或a≤（

-3

x2+2x

）_min=-1，
故a≥-

3

8

或a≤-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了恒成立問(wèn)題的處理方法，屬于中檔題．