Question

設(shè)x=3是函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^3-x的一個極值點．
（1）求a與b的關(guān)系式（用a表示b），
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間上存在零點，求a的取值范圍；
（4）設(shè)a＞0，．若存在x₁，x₂∈[0，4]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）=-[x ²+（a-2）x+b-a]e^3-x
由f′（3）=0，得-[3²+（a-2）3+b-a]e^3-x=0，即得b=-3-2a---（3分）
（2）f′（x）=-[x²+（a-2）x-3-2a-a e^3-x=-[x²+（a-2）x-3-3a]e^3-x
=-（x-3）（x+a+1）e^3-x
令f′（x）=0，得x₁=3或x₂=-a-1，
①由于x=3是極值點，所以3+a+1≠0，那么a≠-4----------（4分）
②當(dāng)a＜-4時，x₂＞3=x₁，則f（x）增區(qū)間為（3，-a-1），減區(qū)間為 （-∞，3）（-a-1，+∞）--（5分）
③當(dāng)a＞-4時，x₂＜3=x₁，f（x）增區(qū)間為（-a-1，3），減區(qū)間為（-∞，-a-1）（3，+∞）---（6分）
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間上存在零點即（x²+ax+b）e^3-x=0在區(qū)間上有根
所以x²+ax-3-2a=0即在區(qū)間上有根----------（7分）
令，則
則u（x）在[-1，1]上遞減，在遞增，------------------（9分）
又所以u（x）的值域為
所以時，函數(shù)f（x）在區(qū)間上存在零點----------（10分）
（4）當(dāng)a＞0時，f（x）在區(qū)間（0，3）上的遞增，在區(qū)間（3，4）上遞減，
而f （0）=-（2a+3）e³＜0，f （4）=（2a+13）e^-1＞0，f （3）=a+6
那么f（x）在區(qū)間[0，4]上的值域是[-（2a+3）e³，a+6]------（12分）
又．在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)
它在區(qū)間[0，4]上的值域是--------（13分）
由于，
所以只須且a＞0，
解得-----------------------（15分）
分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^3-x（x∈R）的一個極值點是x=3．我們根據(jù)函數(shù)在某點取得極值的條件，易得f′（3）=0，進而構(gòu)造方程求出a與b的關(guān)系式；
（2）消去b得到函數(shù)，然后求出導(dǎo)函數(shù)，分析函數(shù)在各個區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)符號，即可得到答案．
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間上存在零點即（x²+ax+b）e^3-x=0在區(qū)間上有根，然后將a分離，研究等式另一側(cè)的值域即可求出a的范圍；
（4）根據(jù)g（x）=（a²+）e^x，利用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)（1）的結(jié)論，我們可以構(gòu)造一個關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到答案．
點評：本題主要考查了函數(shù)的極值和函數(shù)的單調(diào)性，以及零點問題和恒成立問題，是一道綜合題，考查的知識點較多，屬于中檔題．