Question

6．求下列圓的方程．
（1）圓心是（4，-1），且過點（5，2）；
（2）圓心在y軸上，半徑為5，且過點（3，-4）；
（3）過點P（2，-1）和直線x-y=1相切，并且圓心在直線y=-2x上．

Answer 1

分析 （1）由已知求出圓的半徑，代入圓的標準方程得答案；
（2）設出圓心坐標，由兩點間的距離公式結合已知圓的半徑求解；
（3）設圓心坐標為（a，b），半徑為r，由已知條件列關于a，b，r的方程組，求解方程組得答案

解答 解：（1）∵圓心是（4，-1），且過點（5，2），
∴r²=（5-4）²+（2+1）²=10，則圓的方程為（x-4）²+（y+1）²=10；
（2）設圓心為（0，b），由圓過點（3，-4），得$\sqrt{（3-0）^{2}+（-4-b）^{2}}=5$，
得9+（b+4）²=25，解得b=0或b=-8，
∴圓心坐標為（0，0）或（0，-8），則圓的方程為：x²+y²=25或x²+（y+8）²=25；
（3）設圓心坐標為（a，b），半徑為r，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=-2a}\\{\sqrt{（a-2）^{2}+（b+1）^{2}}=r}\\{\frac{|a-b-1|}{\sqrt{2}}=r}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{r=\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=9}\\{b=-18}\\{r=13\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
∴所求圓的方程為（x-1）²+（y+2）²=2或（x-9）²+（y+18）²=338．

點評 本題考查圓的方程的求法，根據(jù)條件利用待定系數(shù)法是解決本題的關鍵，是基礎題．