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已知函數f(x)=x+
ax
-a
（I） 若f（x）＞0對任意x∈（1，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍；（II）解關于x的不等式f（x）＞1．
分析：（I） 根據x∈（1，+∞），將問題等價于x(
x
x-1
)＞a，從而利用基本不等式求最值，進而可求實數a的取值范圍；（II）不等式可化為
(x-1)(x-a)
x
＞0，對參數a進行分類討論，從而可確定不等式的解集．
解答：解：由題意，（I）問題等價于x+
a
x
＞a⇒x＞a-
a
x
=a(1-
1
x
)=a(
x-1
x
)對任意x∈（1，+∞）恒成立；
∵x∈（1，+∞），∴(
x-1
x
)＞0，∴x(
x
x-1
)＞a⇒
x2
x-1
=(x-1)+2+
1
x-1
＞a
∵(x-1)+2+
1
x-1
＞4⇒a＜4
（II）不等式可化為
(x-1)(x-a)
x
＞0
a＜0時x∈（a，0）∪（1，+∞）；a=0時x∈（1，+∞）0＜a＜1時x∈（0，a）∪（1，+∞）a=1時x∈（0，1）∪（1，+∞）a＞1時x∈（0，1）∪（a，+∞）
點評：本題以函數為載體，考查恒成立問題，考查解不等式，關鍵是等價轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數學理科試題 題型：022

已知函數f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數”．已知函數f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數”，則k的值是_________．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數，g（x）是奇函數，則f（x）+g（x）是奇函數
B．f（x）是偶函數，g（x）是偶函數，則f（x）+g（x）是偶函數
C．f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，則f（x）+g（x）一定是奇函數或偶函數
D．f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，則f（x）+g（x）可以是奇函數或偶函數

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