Question

已知，在水平平面α上有一長方體AC₁繞BC旋轉90⁰得到如圖所示的幾何體．
（Ⅰ）證明：平面ADC₁B₁⊥平面EFC₂B₂；
（Ⅱ）當AB=BC=1時，直線CB₂與平面ADC₁B₁所成的角的正弦值為，求AA₁的長度；
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，設旋轉過程中，平面BCC₁B₁與平面α所成的角為θ，長方體AC₁的最高點離平面α的距離為f（θ），請直接寫出f（θ）的一個表達式，并注明定義域．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：延長B₂E交AB₁于N，
∵△ABB₁≌△EBB₂，
∴∠AB₁B=∠EB₂B，
∵∠AB₁B+∠B₁AB=90°，
∴∠EB₂B+∠B₁AB=90°，
∴∠ANB₂=90°
即 AB₁⊥B₂E
又∵EF⊥AB₁∵EF∩B₂E=E
∴AB₁⊥平面EFC₂B₂
又∵AB₁?平面ADC₁B₁，
∴平面ADC₁B₁⊥平面EFC₂B₂；
（Ⅱ）如圖，以CB₁，CC₂，CC₁所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，
設AA₁=a
∵AB=BC=1，則B₂（1，a，0），A（1，-1，0），D（0，-1，0），B₁（1，0，a）
∴=（1，a，0），
設平面ADC₁B₁的一個法向量為，
則由，取
設直線
解得a=
（Ⅲ）
分析：（Ⅰ） 延長B₂E交AB₁于N，利用平面幾何知識證出AB₁⊥B₂E，再結合EF⊥AB₁，可證出平面AB₁⊥平面EFC₂B₂，從而證出平面ADC₁B₁⊥平面EFC₂B₂．
（Ⅱ）以CB₁，CC₂，CC₁所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，設AA₁=a 利用向量的方法表示出與面ADC₁B₁所成的角的正弦值 通過解方程解決．
（Ⅲ）旋轉過程中，平面BCC₁B₁與平面α所成的角為θ=∠B₁BB₂，最高點為A₁，離平面α的距離是△A₁BB₂邊BB₂上的高，在△A₁BB₂中表示出即可．
點評：本題考查面面位置關系、線面角的度量、空間距離的表示，考查分析解決問題、空間想象、轉化、計算的能力與方程思想．