Question

已知圓A：x2＋y2－2x－2y－2＝0.

（1）若直線l：ax＋by－4＝0平分圓A的周長，求原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值；

（2）若圓B平分圓A的周長，圓心B在直線y＝2x上，求符合條件且半徑最小的圓B的方程．

Answer 1

（1）；（2）（x－）2＋（y－）2＝

【解析】

試題分析：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心為，半徑為

（1）直線平分圓的周長即圓的圓心在直線上，得到之間的關(guān)系：，同時(shí)利用點(diǎn)到直線的距離公式，得到原點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)二次函數(shù)的圖像，解得當(dāng)時(shí)，的最大值為；（2）圓平分圓的周長,則兩圓的交點(diǎn)弦一定通過圓的圓心點(diǎn)，設(shè)，由垂徑定理并結(jié)合圖形得到圓的半徑取得最小時(shí)，,進(jìn)而得到半徑最小時(shí)圓的方程.

試題解析：（1）圓A的方程即（x－1）2＋（y－1）2＝4，其圓心為A（1,1），半徑為r＝2.

由題意知直線l經(jīng)過圓心A（1,1），所以a＋b－4＝0，得b＝4－a.

原點(diǎn)O到直線l的距離d＝.

因?yàn)閍2＋b2＝a2＋（4－a）2＝2（a－2）2＋8，所以當(dāng)a＝2時(shí)，a2＋b2取得最小值8.

故d的最大值為＝.

（2）由題意知圓B與圓A的相交弦為圓A的一條直徑，它經(jīng)過圓心A.

設(shè)圓B的圓心為B（a,2a），半徑為R.如圖所示，在圓B中，

由垂徑定理并結(jié)合圖形可得：R2＝22＋|AB|2＝4＋（a－1）2＋（2a－1）2＝5（a－）2＋.

所以當(dāng)a＝時(shí)，R2取得最小值.

故符合條件且半徑最小的圓B的方程為（x－）2＋（y－）2＝.

考點(diǎn)：1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.二次函數(shù)的最值；3.垂徑定理.