Question

（2013•武漢模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2x+1+alnx有兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：f（x₂）＞

1-2ln2

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對f（x）求導(dǎo)數(shù)，f′（x）=0有兩個不同的根x₁，x₂，利用判別式和根與系數(shù)的關(guān)系可求a的取值范圍；
（Ⅱ）由x₁、x₂的關(guān)系，用x₂把a表示出來，求出f（x₂）的表達式最小值與

1-2ln2

4

比較即可．

解答：解：（Ⅰ）由題知，f（x）=x²-2x+1+alnx的定義域為（0，+∞）．
∴f′（x）=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

，
∵f（x）有兩個極值點x₁，x₂，
∴f′（x）=0有兩個不同的根x₁，x₂，
∴2x²-2x+a=0的判別式△=4-8a＞0，即a＜

1

2

，
∴x₁=

1- 1-2a

2

，x₂=

1+ 1-2a

2

．     ①
又x₁+x₂=1，x₁•x₂=

a

2

＞0，
所以a＞0．
所以a的取值范圍為（0，

1

2

）．
（Ⅱ）∵0＜x₁＜x₂，且x₁+x₂=1，
∴

1

2

＜x₂＜1，a=2x₂-2x

2 2

，
∴f（x₂）=x

2 2

-2x₂+1+（2x₂-2x

2 2

）lnx₂．
令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，其中

1

2

＜t＜1，
則g′（t）=2（1-2t）lnt．
當t∈（

1

2

，1）時，g′（t）＞0，
∴g（t）在（

1

2

，1）上是增函數(shù)．
∴g（t）＞g（

1

2

）=

1-2ln2

4

．
故f（x₂）=g（x₂）＞

1-2ln2

4

．

點評：本題考查了利用函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)取值與利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立的問題，是容易出錯的題目．