Question

（2013•武漢模擬）設函數f（x）=x²-2x+1+alnx有兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：f（x₂）＞

1-2ln2

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對f（x）求導數，f′（x）=0有兩個不同的根x₁，x₂，利用判別式和根與系數的關系可求a的取值范圍；
（Ⅱ）由x₁、x₂的關系，用x₂把a表示出來，求出f（x₂）的表達式最小值與

1-2ln2

4

比較即可．

解答：解：（Ⅰ）由題知，f（x）=x²-2x+1+alnx的定義域為（0，+∞）．
∴f′（x）=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

，
∵f（x）有兩個極值點x₁，x₂，
∴f′（x）=0有兩個不同的根x₁，x₂，
∴2x²-2x+a=0的判別式△=4-8a＞0，即a＜

1

2

，
∴x₁=

1- 1-2a

2

，x₂=

1+ 1-2a

2

．     ①
又x₁+x₂=1，x₁•x₂=

a

2

＞0，
所以a＞0．
所以a的取值范圍為（0，

1

2

）．
（Ⅱ）∵0＜x₁＜x₂，且x₁+x₂=1，
∴

1

2

＜x₂＜1，a=2x₂-2x

2 2

，
∴f（x₂）=x

2 2

-2x₂+1+（2x₂-2x

2 2

）lnx₂．
令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，其中

1

2

＜t＜1，
則g′（t）=2（1-2t）lnt．
當t∈（

1

2

，1）時，g′（t）＞0，
∴g（t）在（

1

2

，1）上是增函數．
∴g（t）＞g（

1

2

）=

1-2ln2

4

．
故f（x₂）=g（x₂）＞

1-2ln2

4

．

點評：本題考查了利用函數的性質求參數取值與利用導數證明不等式成立的問題，是容易出錯的題目．