Question

求下列函數(shù)的值域：
（1）y=3x²-x+2；    （2）；   （3）；
（4）；  （5）；   （6）y=|x-1|+|x+4|；
（7）；  （8）； （9）
（10）；    （11）；    （12）y=-
（13）；（14）；（15）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象可求
（2）要求原函數(shù)的值域，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)-x²-6x-5的值域問題的求解，基本方法是配方
（（3）把函數(shù)化簡==，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)可求
（4）利用換元法，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的值域．
（5）利用換元，令x=cosα，然后由輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求
（6）利用分段函數(shù)進(jìn)行討論，把函數(shù)化簡為y=|x-1|+|x+4|=，從而可求
（7）利用判別式法進(jìn)行求解
（8）由y=，分離系數(shù)后利用基本不等式求解函數(shù)的值域
（9）由于=可以看著在單位圓上任取一點(diǎn)與定點(diǎn)A（2，1）的連線的斜率，根據(jù)幾何意義可求函數(shù)的值域
（10）利用分離系數(shù)法，結(jié)合反比例函數(shù)的值域進(jìn)行求解
（11）利用換元，結(jié)合二次函數(shù)的配方法進(jìn)行求解
（12）分x＞0，x=0，x＜0三種情況，分子分母同時(shí)x，然后結(jié)合二次函數(shù)的配方法進(jìn)行求解
（13）利用二次函數(shù)的配方法進(jìn)行求解函數(shù)的值域
（14）利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解函數(shù)的值域
（15）利用分離系數(shù)法，然后由二次函數(shù)的值域的求解的配方法進(jìn)行求解
解答：解（1）y=3x²-x+2
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)有最小值
故函數(shù)的值域?yàn)閇，+∞）
（2）=
∵
∴0≤y≤2
故函數(shù)的值域[0，2]
（3）==≠3
故函數(shù)的值域（-∞，3）∪（3，+∞）
（4）令則t≥0且x=1-t²
=1-t²+4t=-（t-2）²+5在[0，2]上單調(diào)遞增，在[2，+∞）單調(diào)遞減
當(dāng)t=2時(shí)，函數(shù)有最大值5
∴函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，5]
（5）令x=cosα，則y==cosα+sinα=
∴
（6）y=|x-1|+|x+4|=
∴y≥5
故函數(shù)的值域[5，+∞）
（7）∵
∴（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0
①當(dāng)y=2時(shí)，x=0滿足條件
②當(dāng)y≠2時(shí)，△=（y+1）²-4（y-2）²≥0即y²-6y+5≤0
解可得1≤y≤5且y≠2
綜上可得，1≤y≤5
故函數(shù)的值域?yàn)閧y|1≤y≤5}
 （8）∵∴
∴=
∴y==
故函數(shù)的值域?yàn)閇）
（9）∵=可以看著在單位圓上任取一點(diǎn)與定點(diǎn)A（2，1）的連線的斜率
當(dāng)直線與圓相切時(shí)，由圓心到直線的距離為半徑可得斜率k=0或k=
∴
故函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185224431674819/SYS201310241852244316748042_DA/35.png">

（10）∵==
∴
∴且y≠1
∴函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≠1且}
（11）∵
令，則x=1-t²且t≥0
∴=2（1-t²）+4t=-2t²+4t+2=-2（t-1）²+4
根據(jù)二次函數(shù)的 性質(zhì)可知，當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)有最大值4
函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，4]
（12）y=-
①當(dāng)x=0時(shí)，y=0
②當(dāng)x＞0，==
∵=＞1
∴y＞-1
③當(dāng)x＜0時(shí)，y=-=
∵=
∴
綜上可得，函數(shù)的值域?yàn)镽
（13）∵的定義域[-1，3]
令f（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
則0≤f（x）≤4
∴
∴2≤f（x）≤4即函數(shù)的值域[2，4]
（14）∵的定義域?yàn)椋?∞，]，且在（-∞，]上單調(diào)遞增
∴當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)有最大值
故函數(shù)的值域（]
（15）∵
∴（y-2）x²-（y-2）x+y-5=0
∴△=（y-2）²-4（y-2）（y-5）≥0
即（y-2）（3y-18）≤0
∴2≤y≤6
故函數(shù)的值域（2，6]
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)值域求解的一些常用方法的應(yīng)用，要注意配方、換元、函數(shù)的單調(diào)性、判別式法、及利用幾何意義等方法的應(yīng)用