Question

【題目】在測試中，客觀題難度的計算公式為，其中為第題的難度， 為答對該題的人數(shù)， 為參加測試的總?cè)藬?shù)．現(xiàn)對某校高三年級240名學(xué)生進(jìn)行一次測試，共5道客觀題，測試前根據(jù)對學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如表所示：

題號	1	2	3	4	5
考前預(yù)估難度	0.9	0.8	0.7	0.6	0.4

測試后，從中隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如表：

（Ⅰ）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計中240名學(xué)生中第5題的實測答對人數(shù)；

（Ⅱ）從抽樣的20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記這2名學(xué)生中第5題答對的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）試題的預(yù)估難度和實測難度之間會有偏差．設(shè)為第題的實測難度，請用和設(shè)計一個統(tǒng)計量，并制定一個標(biāo)準(zhǔn)來判斷本次測試對難度的預(yù)估是否合理．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）48（Ⅱ）（Ⅲ）合理

【解析】試題分析：

（Ⅰ）因為20人中答對第5題的人數(shù)為4人，因此第5題的實測難度為，

于是可求出240人中實測答對第5題的人數(shù)．（Ⅱ） 的可能取值是0,1,2，根據(jù)超幾何分布即可求出概率和分布列，進(jìn)而求出期望；（Ⅲ）將抽樣的20名學(xué)生中第題的實測難度，作為240名學(xué)生第題的實測難度．定義統(tǒng)計量，其中為第題的預(yù)估難度. 并規(guī)定：若，則稱本次測試的難度預(yù)估合理，否則為不合理． .因為，所以該次測試的難度預(yù)估是合理的．

試題解析：

（Ⅰ）因為20人中答對第5題的人數(shù)為4人，因此第5題的實測難度為，

所以估計240人中有人實測答對第5題．

（Ⅱ）的可能取值是0,1,2，

； ； ．

的分布列為：

	0	1	2

．

（Ⅲ）將抽樣的20名學(xué)生中第題的實測難度，作為240名學(xué)生第題的實測難度．　

定義統(tǒng)計量，其中為第題的預(yù)估難度. 并規(guī)定：若，則稱本次測試的難度預(yù)估合理，否則為不合理．　

.

因為，

所以該次測試的難度預(yù)估是合理的．