Question

7．對(duì)于任何正整數(shù)n，求下式
$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$的和，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)果．

Answer 1

分析 先計(jì)算n=1，2，3，4的結(jié)果，根據(jù)計(jì)算結(jié)果的規(guī)律進(jìn)行猜想，然后使用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解：n=1時(shí)，$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{3}$，
n=2時(shí)，$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}$=$\frac{2}{5}$，
n=3時(shí)，$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$=$\frac{3}{7}$，
n=4時(shí)，$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+$\frac{1}{7×9}$=$\frac{4}{9}$，
猜想：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{n}{2n+1}$．
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{3}$，猜想成立．
（2）假設(shè)n=k（k∈N₊）時(shí)猜想成立，即有$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$=$\frac{k}{2k+1}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$+$\frac{1}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{k}{2k+1}$+$\frac{1}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{k（2k+3）+1}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{{2{k^2}+3k+1}}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{（k+1）（2k+1）}{（2k+1）（2k+3）}$
=$\frac{k+1}{2k+3}$
=$\frac{k+1}{2（k+1）+1}$，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立．
由（1）（2）可知，對(duì)一切n∈N₊猜想成立．即$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了歸納推理，數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于中檔題．