Question

設(shè)函數(shù)在上的最大值為a_n（n=1，2，…）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對(duì)任意n∈N^*（n≥2），都有成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一：通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值即可求a₁，a₂的值；
解法二：利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的最值，推出a₁，a₂的值．
（2）利用（1）解法求出n≥3時(shí)函數(shù)的最大值，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）利用分析法以及二項(xiàng)式定理直接證明：對(duì)任意n∈N^*（n≥2），都有成立．
解答：解：（1）解法1：∵-------（1分）
當(dāng)n=1時(shí)，f₁'（x）=（1-x）（1-3x）
當(dāng)時(shí)，f₁'（x）≤0，即函數(shù)f₁（x）在上單調(diào)遞減，
∴，--------------------------------------------------（3分）
當(dāng)n=2時(shí)，f₂'（x）=2x（1-x）（1-2x）
當(dāng)時(shí)，f₂'（x）≤0，即函數(shù)f₂（x）在上單調(diào)遞減，
∴---------------------------------------------------（5分）
【解法2：當(dāng)n=1時(shí)，，則
當(dāng)時(shí)，f₁'（x）≤0，即函數(shù)f₁（x）在上單調(diào)遞減，∴，
當(dāng)n=2時(shí)，，則=2x（1-x）（1-2x）
當(dāng)時(shí)，f₂'（x）≤0，即函數(shù)f₂（x）在上單調(diào)遞減，∴】
（2）令f_n'（x）=0得x=1或，
∵當(dāng)n≥3時(shí)，且當(dāng)時(shí)f_n'（x）＞0，
當(dāng)時(shí)f_n'（x）＜0，-----------------（7分）
故f_n（x）在處取得最大值，
即當(dāng)n≥3時(shí)，=，-------（9分）
當(dāng)n=2時(shí)（*）仍然成立，
綜上得-------------------------------------（10分）
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，要證，只需證明，-------------------（11分）
∵
∴對(duì)任意n∈N^*（n≥2），都有成立．-----------------（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．