Question

六個不同大小的數按如圖形式隨機排列，設第一行這個數為M₁，M₂，M₃分別表示第二、三行中最大數，則滿足M₁＜M₂＜M₃所有排列的個數

240

．

Answer 1

分析：判斷a一定在第三行，分M₂是b、M₂ 是c、M₂是d 三種情況，分別求出滿足條件的排法，相加即得結果．

解答：解：首先M₃一定是6個數中最大的，設這六個數分別為a，b，c，d，e，f，不妨設 a＞b＞c＞d＞e＞f．
因為如果a在第三行，則a一定是M3，若a不在第三行，則a一定是M₁或M₂，此時無法滿足M₁＜M₂＜M₃，故a一定在第三行．
故  M₂一定是b，c，d中一個，
否則，若M₂ 是e，則第二行另一個數只能是f，那么第一行的數就比e大，無法滿足M₁＜M₂ ＜M₃．
當M₂是b 時，此時，a在第三行，b在第二行，其它數任意排，所有的排法有 C₃¹ C₂¹ A₄⁴=144 （種），
當M₂ 是c 時，此時a和b必須在第三行，c在第二行，其它數任意排，所有的排法有A₃²  C₂¹ A₃³=72（種），
當M₂是d時，此時，a，b，c 在第三行，d在第二行，其它數任意排，所有的排法有A₃³ C₂¹ A₂²=24（種），
故滿足M₁＜M₂＜M₃所有排列的個數為：24+72+144=240種，故答案為：240．

點評：本題考查排列、組合以及簡單計數原理的應用，體現(xiàn)了分類討論的數學思想，判斷a一定在第三行，是解題的突破口．