Question

已知函數(shù)．
（1）當時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）當a=1時，若在區(qū)間[2，+∞）上存在一點x，使得f（x）＜g（x）成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導函數(shù)，將問題轉化為討論的符號，分類討論即可；
（2）考查反面情況：?x∈[2，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即在x∈[2，+∞）上恒成立，確定函數(shù)的最小值即可，再取其補集可得結論．
解答：解：（1），因e^ax＞0且，故只需討論的符號
所以 ①當時，f′（x）≥0，f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上為增函數(shù)
②當時，令f′（x）=0解得．
當x變化時，f'（x）和f（x）的變化情況如下表：

x
f'（x）	+		-		+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴f（x）在，，為增函數(shù)，
f（x）在為減函數(shù)．                           …（6分）
（2）考查反面情況：?x∈[2，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
即在x∈[2，+∞）上恒成立．
首先，即，其次，，考慮
因在x∈[2，+∞）上恒成立，
所以，
所以當時，，故h（x）在x∈[2，+∞）上單調遞增，
又h（2）≥0，所以在x∈[2，+∞）上恒成立，所以，
綜上…（14分）
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查存在性問題，解題的關鍵是考查反面情況，轉化為恒成立問題．