Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD．AB=2，PA=PD=3；
（1）求異面直線DC與PB所成的角的余弦值；
（2）求直線PB和平面ABCD所成角的正弦值．
（3）求二面角P-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以M點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，分別求出異面直線DC與PB的方向向量，代入向量夾角公式，可得答案；
（2）分別直線PB的方向向量和平面ABCD的法向量，代入向量夾角公式，可得答案；
（3）分別求出平面PAB和平面ABC的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角P-AB-C的余弦值．

解答：解：取AD，BC的中點(diǎn)M，N，連接PM，MN，
∵PA=PD，
∴PM⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面AC
∴PM⊥平面AC
又∵M(jìn)N?平面AC
∴PM⊥MN，
又∵M(jìn)N⊥AD
故以M點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，由AB=2，PA=PD=3得：
M（0，0，0），A（0，1，0），B（2，1，0），C（2，-1，0），D（0，-1，0），P（0，0，2

2

）
（1）直線PB的方向向量為

PB

=（2，1，2

2

），直線DC的方向向量為

DC

=（2，0，0）
設(shè)直線PB與直線DC所成的角為θ，則
cosθ=

| PB • DC |

| PB |•| DC |

=

4

2 13

=

2 13

13

所以，異面直線DC與PB所成的角的余弦值為

2 13

13

（2）由PM⊥平面AC，故平面AC的一個法向量為

MP

=（0，0，2

2

），直線PB的方向向量為

PB

=（2，1，2

2

），
設(shè)直線PB和平面ABCD所成角為α
則sinα=

| MP • PB |

| MP |•| PB |

=

8

2 2 • 13

=

2 26

13

所以，直線PB和平面ABCD所成角的正弦值為

2 26

13

（3）設(shè)平面PAB的一個法向量為

n

=（x，y，1）則

n

⊥

PB

，

n

⊥

AB

，且

AB

=（2，0，0），

PB

=（2，1，2

2

），
故

n • PB =0 n • AB =0

，即

2x+y-2 2 =0 2x=0

解得：x=0，y=2

2

∴

n

=（0，2

2

，1）
設(shè)二面角P-AB-C的平面角為β，
則cosβ=

| n • PM |

| n |•| PM |

=

1

3

故二面角P-AB-C的余弦值為

1

3

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二面角的平面角及求法，異面直線及其所成的角，直線與平面所成的角，其中建立空間坐標(biāo)系，將空間線面夾角轉(zhuǎn)化為向量夾角是解答的關(guān)鍵．