Question

若數(shù)列{a_n}滿足a₁=2且a_n+a_n-1=2ⁿ+2^n-1，S_n為數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和，則log₂（S₂₀₁₂+2）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：依題意，a₁=2且a_n+a_n-1=2ⁿ+2^n-1，則S₂₀₁₂=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a₂₀₁₁+a₂₀₁₂），利用等比數(shù)列的求和公式可求得S₂₀₁₂+2=2²⁰¹³，從而可得答案．

解答： 解：∵a_n+a_n-1=2ⁿ+2^n-1，S_n為數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和，
∴S₂₀₁₂=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a₂₀₁₁+a₂₀₁₂）
=（2¹+2²）+（2³+2?）+…+（2²⁰¹¹+2²⁰¹²）
=2+2²+2³+…+2²⁰¹²
=

2(1-22012)

1-2

=2²⁰¹³-2，
∴S₂₀₁₂+2=2²⁰¹³，
∴l(xiāng)og₂（S₂₀₁₂+2）=log₂2²⁰¹³=2013．
故答案為：2013．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，依題意得到S₂₀₁₂=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a₂₀₁₁+a₂₀₁₂）是關(guān)鍵，考查化歸思想與等比數(shù)列的求和及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．