Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，AB為⊙O直徑，直線CD與⊙O相切與E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，連接AE，BE．證明：
（I）∠FEB=∠CEB；
（II）EF²=AD•BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線CD與⊙O相切于E，利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB．由AB為⊙O的直徑，可得∠AEB=90°．又EF⊥AB，利用互余角的關系可得∠FEB=∠EAB，從而得證．
（2）利用（1）的結論及∠ECB=90°=∠EFB和EB公用可得△CEB≌△FEB，于是CB=FB．同理可得△ADE≌△AFE，AD=AF．在Rt△AEB中，由EF⊥AB，利用射影定理可得EF²=AF•FB．等量代換即可．
解答：證明：（1）∵直線CD與⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB．
∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB=90°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°．
∴∠FEB=∠EAB．
∴∠CEB=∠EAB．
（2）∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB，
又∠CEB=∠FEB，EB公用．
∴△CEB≌△FEB．
∴CB=FB．
同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF．
在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF²=AF•FB．
∴EF²=AD•CB．
點評：熟練掌握弦切角定理、直角三角形的互為余角的關系、三角形全等的判定與性質、射影定理等是解題的關鍵．