Question

19．“中國齊云山國際養(yǎng)生萬人徒步大會”得到了國內外戶外運動愛好者的廣泛關注，為了使基礎設施更加完善，現需對部分區(qū)域進行改造．如圖，在道路 北側準備修建一段新步道，新步道開始部分的曲線段MAB是函數y=2sin（ωx+ϕ），（ω＞0，0＜ϕ＜π），x∈[-4，0]的圖象，且圖象的最高點為A（-1，2）．中間部分是長為1千米的直線段BC，且BC∥MN．新步道的最后一部分是以原點O為圓心的一段圓弧CN．
（1）試確定ω，ϕ的值
（2）若計劃在扇形OCN區(qū)域內劃出面積盡可能大的矩形區(qū)域建服務站，并要求矩形一邊EF緊靠道路MN，頂點Q羅總半徑OC上，另一頂點P落在圓弧CN上．記∠PON=θ，請問矩形EFPQ面積最大時θ應取何值，并求出最大面積？

Answer 1

分析 （1）利用正確確定ω，圖象過A（-1，2），確定ϕ的值；
（2）求出PF，EF，可得面積，利用三角函數求出最大面積．

解答 解：（1）∵$\frac{T}{4}=-1-（{-4}）=3$，∴$T=\frac{2π}{ω}=12$，∴$ω=\frac{π}{6}$．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（2分）
圖象過A（-1，2），∴$-\frac{π}{6}+ϕ=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
又$0＜ϕ＜π∴ϕ=\frac{2π}{3}$．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（4分）
（2）由（1）知$y=2sin（{\frac{π}{6}x+\frac{2π}{3}}）$，交y軸于$B（{0，\sqrt{3}}）$，
又BC=1，BC∥MN，∴$OC=2，∠CON=∠BCO=\frac{π}{3}$．
又∠PON=θ，∴P（2cosθ，2sinθ），$PF=2sinθ，EF=2cosθ-\frac{2sinθ}{{tan{{60}°}}}=2cosθ-\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinθ$┉┉┉┉（7分）
∴${S_{EFPQ}}=PF•EF=2sinθ（{2cosθ-\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinθ}）$=$2sin2θ-\frac{4}{{\sqrt{3}}}{sin^2}θ=2sin2θ-\frac{2}{{\sqrt{3}}}（{1-cos2θ}）$
=$2sin2θ+\frac{2}{{\sqrt{3}}}cos2θ-\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}}}（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2θ+\frac{1}{2}cos2θ}）-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$=$\frac{{4\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}}}sin（{2θ+\frac{π}{6}}）-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$┉┉┉┉┉（10分）
又$θ∈（{0，\frac{π}{3}}）$，∴$θ=\frac{π}{6}$時$sin（{2θ+\frac{π}{6}}）=1$，此時矩形EFPQ面積最大為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}k{m^2}$．┉┉（12分）

點評 本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，三角恒等變換、正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．