Question

9．在平面直角坐標系xOy中，橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦點為F（-1，0），左頂點為A，上、下頂點分別為B，C．
（1）若直線BF經(jīng)過AC中點M，求橢圓E的標準方程；
（2）若直線BF的斜率為1，BF與橢圓的另一交點為D，求點D到橢圓E右準線的距離．

Answer 1

分析 （1）由題意可得A，B，C的坐標，寫出直線BF的方程，再由AC的中點在直線BF上求得a，由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）由直線BF的斜率可得b，求出a，得到橢圓方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程求得D的坐標，則點D到橢圓E右準線的距離可求．

解答 解：（1）由題意，A（-a，0），B（0，b），C（0，-b），
又F（-1，0），∴c=1，直線BF：y=bx+b．
∵M為AC的中點，∴$M（-\frac{a}{2}，-\frac{2}）$，
代入直線BF：y=bx+b，得a=3，
由a²=b²+c²=b²+1，得b²=8，
∴橢圓E的標準方程是$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$；
（2）∵直線BF的斜率為1，則$b=c=1，a=\sqrt{2}$，
∴橢圓$M：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
又直線BF：y=x+1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=x+1\end{array}\right.$，解得x=0（舍），或$x=-\frac{4}{3}$，
∵右準線的方程為x=2，
∴點D到右準線的距離為$2+\frac{4}{3}=\frac{10}{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了橢圓標準方程的求法，是基礎的計算題．