Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)．且滿足f（x+1）=f（1-x），關(guān)于函數(shù)f（x）有如下結(jié)論：①； ②圖象關(guān)于直線x=1對稱； ③在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)；④在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)；其中正確結(jié)論的序號是________．

Answer 1

①②③
分析：①賦值，取x=，可得；
②f（x+1）=f（1-x），故圖象關(guān)于直線x=1對稱；
③偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，根據(jù)圖象關(guān)于直線x=1對稱，可得函數(shù)f（x）在[0，1]上是減函數(shù)；
④可判斷函數(shù)是周期為2的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，可知函數(shù)在區(qū)間[2，3]上是減函數(shù)．
故可得結(jié)論．
解答：①取x=，∵f（x+1）=f（1-x），∴，∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∴，故①正確；
②f（x+1）=f（1-x），故圖象關(guān)于直線x=1對稱，故②正確；
③偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，圖象關(guān)于直線x=1對稱，故函數(shù)f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，故③正確；
④∵f（x+1）=f（1-x），又函數(shù)是偶函數(shù)，∴f（x+2）=f（-x）=f（x），∴函數(shù)是周期為2的函數(shù)，∵函數(shù)f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，∴函數(shù)在區(qū)間[2，3]上是減函數(shù)，故④不正確．
故正確的結(jié)論是①②③．
故答案為：①②③
點評：本題利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性進行判斷證明，考查函數(shù)的對稱性，周期性，命題開放，需要謹慎作答．