Question

3．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m+3s}\\{y=4s}\end{array}\right.$（s為參數），在以O為極點，x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ=ρcos2θ+4cosθ．
（Ⅰ）求直線l與曲線C的普通方程；
（Ⅱ）設直線l與x軸交于點P，且與曲線C相交于A、B兩點，若|AB|是|PA|與|PB|的等比中項，求實數m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用將s=$\frac{y}{4}$，代入x=m+3s，整理即可求得直線l，將極坐標ρ=ρcos2θ+4cosθ兩邊同乘以ρ，整理求得曲線C的普通方程；
（Ⅱ）將直線l代入曲線C，求得關于t的一元二次方程，△＞0，求得m的取值范圍，由韋達定理求得t₁+t₂=$\frac{15}{8}$，t₁•t₂=-$\frac{25m}{8}$，由|AB|²=|PA|•|PB|，可知（t₁+t₂）²=5t₁•t₂，代入即可求得m的值．

解答 解：（Ⅰ）由直線l的參數方程得：x=m+3•$\frac{y}{4}$，
所以直線l的普通方程為4x-3y-4m=0；
由ρ=ρcos2θ+4cosθ得ρ²=ρ²cos2θ+4ρcosθ，即y²=2x，
所以，曲線C的普通方程為y²=2x．                         …（5分）
（Ⅱ）∵P（m，0），直線的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數），將其代入y²=2x，
得：$\frac{16}{25}{t}^{2}$=2（m+$\frac{3}{5}t$），即8t²-15t-25m=0，
∵△=225+800m＞0，m＞-$\frac{9}{32}$，
由韋達定理可知：t₁+t₂=$\frac{15}{8}$，t₁•t₂=-$\frac{25m}{8}$
∵|AB|是|PA|與|PB|的等比中項，
∴|AB|²=|PA|•|PB|，即（t₁-t₂）²=|t₁•t₂|，
∴（t₁+t₂）²-4t₁•t₂=|t₁•t₂|，
顯然當時m≥0不滿足題意，于是m＜0，
∴（t₁+t₂）²=5t₁•t₂，
即（$\frac{15}{8}$）²=5（-$\frac{25m}{8}$），
∴m=-$\frac{9}{40}$．…（10分）

點評 本題考查參數方程和普通方程的轉化，直線與拋物線的位置關系，韋達定理，等比中項的性質，考查計算能力，屬于中檔題．