Question

11．已知命題p：關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集為∅；命題q：方程$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{a}=1$表示焦點在y軸上的橢圓；若命題^?q為真命題，p∨q為真命題．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）判斷方程（a+1）x²+（1-a）y²=（a+1）（1-a）所表示的曲線的形狀．

Answer 1

分析 （1）若命題^?q為真命題，p∨q為真命題．則p為真q為假，進而可得實數(shù)a的取值范圍；
（2）結(jié)合圓錐曲線和圓方程的特點，對a進行分類討論，可得答案．

解答 解：（1）由題意得 若P為真，則△=（a-1）²-4＜0⇒-1＜a＜3
若q為真，則a＞2；
又命題?q為真命題，p∨q為真命題得，p為真q為假
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-1＜a＜3}\\{a≤2}\end{array}}\right.$⇒-1＜a≤2；
（2）由（1）得-1＜a≤2
∴①當a=1時，方程表示一條直線，即y軸；
②當-1＜a＜0時，方程表示焦點在x軸上的橢圓；
③當a=0時，方程表示單位圓；
④當0＜a＜1時，方程表示焦點在y軸上的橢圓；
⑤當1＜a≤2時，方程表示焦點在y軸上的雙曲線．

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復合命題，二次不等式的解法，圓錐曲線的方程，難度中檔．