Question

（2011•安徽模擬）設函數f(x)=1nx+

1

x-2

+ax(a≥0)
（Ⅰ）當a=0時，求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若f(x)在(0，1]上的最大值為

1

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）對函數求導得：f′(x)=

1

x

-

1

(x-2)2

+a，定義域（0，2）∪（2，+∞）．單調性的處理，通過導數的零點進行穿線判別符號完成．
（II）當x∈(0，1]，f′(x)=

1

x

-

1

(x-2)2

+a＞0為單調遞增，f(x)max=f(1)=a-1=

1

2

，由此能能求出a=

3

2

．

解答：解：（I）對函數求導得：f′(x)=

1

x

-

1

(x-2)2

+a，定義域（0，2）∪（2，+∞）…（2分）
單調性的處理，通過導數的零點進行穿線判別符號完成．
當a=0時，令f′(x)=

1

x

-

1

(x-2)2

=0，得

(x-1)(x-4)

x(x-2)2

=0…（4分）

當x∈(0，1)和x∈(4，+∞)，f′(x)＜0為增區(qū)間 當x∈(1，2)和x∈(2，4)，f′(x)＜0為減區(qū)間．…(6分)

（II）當x∈(0，1]，f′(x)=

1

x

-

1

(x-2)2

+a＞0為單調遞增，
∴f(x)max=f(1)=a-1=

1

2

，
∴a=

3

2

．…（12分）

點評：本題考查函數的單調區(qū)間的求法和f(x)在(0，1]上的最大值為

1

2

，求a的值．解題時要認真審題，注意導數的性質的靈活運用．