Question

已知拋物線的焦點(diǎn)為F₂，點(diǎn)F₁與F₂關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線m垂直于軸（垂足為T(mén)），與拋物線交于不同的兩點(diǎn)P、Q，且.

（Ⅰ）求點(diǎn)T的橫坐標(biāo)；

（Ⅱ）若橢圓C以F₁,F₂為焦點(diǎn)，且F₁,F₂及橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)圍成的三角形面積為1.

① 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

② 過(guò)點(diǎn)F₂作直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)，若的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ；

（Ⅱ）（ⅰ；（ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意得，，設(shè)，

則，.

由，

得即，①                       3分

又在拋物線上，則，②

聯(lián)立①、②易得                                      5分

（Ⅱ）（ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得，

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

由，解得                                    6分

從而                                   

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為                             7分

（ⅱ）方法一：

容易驗(yàn)證直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為

將直線的方程代入中得：.      8分

設(shè)，則由根與系數(shù)的關(guān)系，

可得：      ⑤

        ⑥                              9分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061511100935238383/SYS201306151111181492203350_DA.files/image028.png">，所以，且.

將⑤式平方除以⑥式，得：

由

所以                             11分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061511100935238383/SYS201306151111181492203350_DA.files/image035.png">，所以，

又，所以，

故

，

令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061511100935238383/SYS201306151111181492203350_DA.files/image041.png"> 所以，即，

所以.

而，所以. 

所以.                    14分

方法二：

1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即時(shí)，，，

又，所以            8分

2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，即時(shí)，設(shè)直線的方程為

由得

設(shè)，顯然，則由根與系數(shù)的關(guān)系，

可得：，                    9分

         ⑤

   ⑥

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061511100935238383/SYS201306151111181492203350_DA.files/image028.png">，所以，且.

將⑤式平方除以⑥式得：

由得即

故，解得                   10分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061511100935238383/SYS201306151111181492203350_DA.files/image035.png">，所以，

又，

故

       11分

令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061511100935238383/SYS201306151111181492203350_DA.files/image066.png"> 所以，即，

所以.

所以                    13分

綜上所述：.                     14分

考點(diǎn)：本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。

點(diǎn)評(píng)：難題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，注意明確焦點(diǎn)軸和a,b,c的關(guān)系。曲線關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題解法較多，對(duì)學(xué)生的復(fù)雜式子變形能力要求較高。