Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，側(cè)棱AA₁=2，D、E分別是CC₁與A₁B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，
（Ⅰ）求A₁B與平面ABD所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（Ⅱ）求點(diǎn)A₁到平面AED的距離。

Answer 1

解：（Ⅰ）連結(jié)BG，則BG是BE在ABD的射影， 即∠EBG是A1B與平面ABD所成的角， 設(shè)F為AB中點(diǎn)，連結(jié)EF、FC， ∵D，E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)， 又DC⊥平面ABC， ∴CDEF為矩形，連接DE，G是△ADB的重心， ∴GE=DF， 在直角三角形EFD中，， ∵EF=1， ∴，于是， ∵， ∴， ∴， ∴A1B與平面ABD所成的角是。 （Ⅱ）， 又EF∩AB=F， ∴ED⊥面A1AB， 又， ∴平面AED⊥平面A1AB，且面AED∩面A1AB=AE， 作，垂足為K， ∴A1K⊥平面AED，即A1K是A1到平面AED的距離， 在中，， ∴點(diǎn)A1到平面AED的距離為。