Question

10．對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D（m＜n），同時(shí)滿足：①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)定義域是[m，n]時(shí)，f（x）的值域也是[m，n]則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間[m，n]上的“保值函數(shù)”．
（1）求證：函數(shù)g（x）=x²-2x不是定義域[0，1]上的“保值函數(shù)”；
（2）已知f（x）=2+$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{a}^{2}x}$（a∈R，a≠0）是區(qū)間[m，n]上的“保值函數(shù)”，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義以及“保值函數(shù)”的定義判斷即可；
（2）由f（x）的定義域和值域都是[m，n]，問題等價(jià)于方程a²x²-（2a²+a）x+1=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)根的判別式判斷即可；

解答 解：（1）證明：g（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
x∈[0，1]時(shí)，g（x）∈[-1，0]，
根據(jù)函數(shù)g（x）不是定義域[0，1]上的“保值函數(shù)”．
（2））由f（x）的定義域和值域都是[m，n]得f（m）=m，f（n）=n，
因此m，n是方程2+$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{a}^{2}x}$=x的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
等價(jià)于方程a²x²-（2a²+a）x+1=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
即△=（2a²+a）²-4a²＞0，
解得a＞$\frac{1}{2}$或a＜-$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及函數(shù)恒成立問題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于綜合題．