Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90^o，AC=1，CB=，側棱AA₁=1，側面AA₁B₁B的兩條對角線交點為D，B₁C₁的中點為M．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面BDM；
（Ⅱ）求面B₁BD與面CBD所成二面角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）如圖，連接CA₁、AC₁、CM，要證CD⊥平面BDM，只需證明直線CD垂直平面BDM內兩條相交直線A₁B、DM即可；
（Ⅱ）設F、G分別為BC、BD的中點，連接B₁G、FG、B₁F，說明∠B₁GF
是所求二面角的平面角，然后解三角形，求面B₁BD與面CBD所成二面角的大小．
法二：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，求出相關向量計算即得證，
（Ⅱ）求出面B₁BD與面CBD的法向量，利用向量的數(shù)量積求解可得答案．
解答：解：法一：（I）如圖，連接CA₁、AC₁、CM，則CA₁=，
∵CB=CA₁=，∴△CBA₁為等腰三角形，
又知D為其底邊A₁B的中點，∴CD⊥A₁B，
∵A₁C₁=1，C₁B₁=，∴A₁B₁=，
又BB₁=1，∴A₁B=2，
∵△A₁CB為直角三角形，D為A₁B的中點，CD=A₁B=1，CD=CC₁．
又DM=AC₁=，DM=C₁M，∴△CDN≌△CC₁M，∠CDM=∠CC₁M=90°，即CD⊥DM，
因為A₁B、DM為平面BDM內兩條相交直線，所以CD⊥平面BDM．

（II）設F、G分別為BC、BD的中點，連接B₁G、FG、B₁F，
則FG∥CD，F(xiàn)G=CD．∴FG=，F(xiàn)G⊥BD．
由側面矩形BB₁A₁A的對角線的交點為D，知BD=B₁D=A₁B=1，
所以△BB₁D是邊長為1的正三角形，于是B₁G⊥BD，B₁G=，
∴∠B₁GF是所求二面角的平面角．
又B₁F²=B₁B²+BF²=1+（）²=．
∴cos∠B₁GF=．
即所求二面角的大小為π-arccos．

法二：如圖以C為原點建立坐標系．
（I）B（，0，0），B₁（，1，0），A₁（0，1，1），D（，，），
M（，1，0），=（，，），=（，-1，-1），=（0，，-），，
∴CD⊥A₁B，CD⊥DM．
因為A₁B、DM為平面BDM內兩條相交直線，
所以CD⊥平面BDM．

（II）設BD中點為G，連接B₁G，
則G，=（-，，），=，
∴，∴BD⊥B₁G，
又CD⊥BD，∴與的夾角θ等于所求二面角的平面角，
cos
所以所求二面角的大小為π-arccos．
點評：本題考查直線與平面的垂直判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．