Question

10．定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若對(duì)?x∈D，均有f（x）＜f′（x），則稱(chēng)函數(shù)f（x）為D上的夢(mèng)想函數(shù)．
（I）已知函數(shù)f（x）=sinx，試判斷f（x）是否為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）已知函數(shù)h（x）=sinx+ax+a-1（a∈R，x∈[0，π]）為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)，求a的最大整數(shù)值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）按照夢(mèng)想函數(shù)的定義舉反例即可；
（Ⅱ）求出h'（x）=cosx+a，由題意得h'（x）＞h（x）在x∈[0，π]恒成立，即ax＜cosx-sinx+1在x∈[0，π]上恒成立．x=0時(shí)易判斷成立；當(dāng)0＜x≤π時(shí)，可得a＜$\frac{cosx-sinx+1}{x}$對(duì)任意x∈（0，π]恒成立．令F（x）=$\frac{cosx-sinx+1}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)可求得F（x）的最小值及其范圍，從而得到a的范圍，進(jìn)而得到答案；

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sinx不是其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)．
理由如下：f（x）=sinx的定義域D=R，f'（x）=cosx，
存在x=$\frac{π}{3}$，使f（$\frac{π}{3}$）＞f′（$\frac{π}{3}$），
故函數(shù)h（x）=sinx不是其定義域D=R上的夢(mèng)想函數(shù)．
（Ⅱ）h′（x）=cosx+a，由題意h'（x）＞h（x）在x∈[0，π]恒成立，
故cosx+a＞sinx+ax+a-1，即ax＜cosx-sinx+1在x∈[0，π]上恒成立．
①當(dāng)x=0時(shí)，a•0＜cos0-sin0+1=2顯然成立；
②當(dāng)0＜x≤π時(shí)，由ax＜cosx-sinx+1，可得a＜$\frac{cosx-sinx+1}{x}$對(duì)任意x∈（0，π]恒成立．
令F（x）=$\frac{cosx-sinx+1}{x}$，則F′（x）=$\frac{（-sinx-cosx）•x-（cosx-sinx+1）}{{x}^{2}}$，
令k（x）=（-sinx-cosx）•x-（cosx-sinx+1），
則k′（x）=（sinx-cosx）•x=$\sqrt{2}$x•sin（x-$\frac{π}{4}$），
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{4}$]時(shí)，因?yàn)閗'（x）≤0，所以k（x）在（0，$\frac{π}{4}$]單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（$\frac{π}{4}$，π]時(shí)，因?yàn)閗'（x）≥0，所以k（x）在（$\frac{π}{4}$，π]單調(diào)遞增．
∵k（0）=-2＜0，k（$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$π-1＜0，
∴當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{4}$]時(shí)，k（x）的值均為負(fù)數(shù)．
∵k（$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$π-1＜0，k（π）=π＞0，
∴當(dāng)x∈（$\frac{π}{4}$，π]時(shí)，k（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)x₀，且x₀∈（$\frac{π}{4}$，π）．
∴當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，k（x）＜0，所以F'（x）＜0，可得F（x）在（0，x₀）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₀，π）時(shí)，k（x）＞0，所以F'（x）＞0，可得F（x）在（x₀，π）單調(diào)遞增．
則F（x）min=F（x₀）=$\frac{co{sx}_{0}-si{nx}_{0}+1}{{x}_{0}}$，
因?yàn)閗（x₀）=0，所以cosx₀-sinx₀+1=（-sinx₀-cosx₀）•x₀，
F（x）min=F（x₀）=-sinx₀-cosx₀=-$\sqrt{2}$sin（x₀+$\frac{π}{4}$）．
∵k（x）在（$\frac{π}{4}$，π]上單調(diào)遞增，k（$\frac{π}{2}$）=-$\frac{π}{2}$＜0，k（$\frac{3π}{4}$）=$\sqrt{2}$-1＞0，
∴$\frac{π}{2}$＜x₀＜$\frac{3π}{4}$，
所以-1＜-$\sqrt{2}$sin（x₀+$\frac{π}{4}$）＜0，即-1＜F（x₀）＜0．
又因?yàn)閍＜F（x₀），所以a的最大整數(shù)值為-1．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等．