Question

已知

a

=（sinx，-cosx），

b

=（cosx，

3

cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

+

3

2

．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（2）當0≤x≤

π

2

時，求x為何值時函數(shù)f（x）分別取最大最小值并求出最值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：首先利用向量的數(shù)量積得到函數(shù)的解析式，然后利用三角函數(shù)的倍角公式變形得到函數(shù)的最簡形式，求最值以及周期和單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）由題意，f（x）=sinxcosx-

3

cos²x+

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin（2x-

π

3

）；
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π；
∵f（x）遞增，故有2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
即：x∈[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，（k∈Z）．
（2）∵0≤x≤

π

2

時，-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
當2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

時，f（x）有最大值1，
當2x-

π

3

=-

π

3

時，即x=0時，f（x）有最小值-

3

2

．

點評：本題考查了向量的數(shù)量積的坐標運算以及三角函數(shù)周期、最值以及得到區(qū)間的求法．關(guān)鍵是將三角函數(shù)解析式化為一個角的三角函數(shù)形式．