(注意:在試題卷上作答無(wú)效)
如圖,PC⊥平面ABC,PM∥CB,∠ACB=120°,PM=AC=1,BC=2,異面直線AM與直線PC所成的角為60°.
(1)求二面角M-AC-B大小的正切值;
(2)求三棱錐P-MAC的體積.
解:方法一:(1)取BC的中點(diǎn)N,連結(jié)MN.由已知,PMCN,則MN
PC,所以MN⊥平面ABC.過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AC,交AC的延長(zhǎng)線于H,連結(jié)MH,由三垂線定理知,AC⊥MH.所以∠MHN為二面角M-AC-B的平面角.連結(jié)AN,在△ACN中,由余弦定理,得
.
由已知∠AMN=60°,在Rt△ANM中,.在Rt△CHN中,
.
在Rt△MNH中,
.
故二面角M-AC-B的正切值是.
……6分
(2)因?yàn)樗倪呅蜳CNM為正方形,MN⊥平面ABC,則
. ……12分
方法二:(Ⅰ)在平面ABC內(nèi),過(guò)點(diǎn)C作CB的垂線,
按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系
.
設(shè)點(diǎn),由已知可得,點(diǎn)
,
,則
.
因?yàn)橹本€AM與直線PC所成的角為60°,則
,即
.
解得z0=1,從而.
設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為n,則
,即
.
取,則n
.
又m=(0,0,1)為平面ABC的一個(gè)法向量,設(shè)向量m與n的夾角為θ,則
.從而
. 顯然,二面角M-AC-B的平面角為銳角,故二面角M-AC-B的正切值是
. ……6分
(Ⅱ)因?yàn)閍=(1,0,0)為平面PCM的一個(gè)法向量,,則
點(diǎn)A到平面PCM的距離.
又PC=PM=1,則. (12分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年湖北省高三9月月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)(注意:在試題卷上作答無(wú)效)
已知曲線,從
上的點(diǎn)
作
軸的垂線,交
于點(diǎn)
,再?gòu)狞c(diǎn)
作
軸的垂線,交
于點(diǎn)
,設(shè)
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)記,數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,試比較
與
的大小
;
(3)記,數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,試證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年四川省高考?jí)狠S理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)(注意:在試題卷上作答無(wú)效)
已知曲線,從
上的點(diǎn)
作
軸的垂線,交
于點(diǎn)
,再?gòu)狞c(diǎn)
作
軸的垂線,交
于點(diǎn)
,設(shè)
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)記,數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,試比較
與
的大小
;
(3)記,數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,試證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年四川省高考?jí)狠S理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)(注意:在試題卷上作答無(wú)效)
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為
,若以
為圓心,
為半徑作圓
,過(guò)橢圓上一點(diǎn)
作此圓的切線,切點(diǎn)為
,且
的最小值不小于為
.
(1)求橢圓的離心率的取值范圍;
(2)設(shè)橢圓的短半軸長(zhǎng)為,圓
與
軸的右交點(diǎn)為
,過(guò)點(diǎn)
作斜率為
的直線
與橢圓相交于
兩點(diǎn),若
,求直線
被圓
截得的弦長(zhǎng)
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年廣西省南寧市高三第二次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題
(本小題共12分)(注意:在試題卷上作答無(wú)效)
已知拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P,拋物線內(nèi)一點(diǎn)A(3,2) ,F為焦點(diǎn)且
的最小值為
.
(1)求拋物線的方程以及使得取最小值時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo);
(2)過(guò)(1)中的P點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與拋物線分別交于C、D兩點(diǎn),直線CD是否過(guò)一定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo),若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(本小題滿分14分)(注意:在試題卷上作答無(wú)效)
過(guò)拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)
的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn),自M、N向直線
作垂線,垂足分別為
、
。
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證:
⊥
;
(Ⅱ)記、
、
的面積分別為
、
、
,是否存在
,使得對(duì)任意的
,都有
成立。若存在,求出
的值;若不存在,說(shuō)明理由。
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