Question

（2012•臨沂二模）等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為S_n，且S₃=9，又a₁+2、a₂+3、a₃+7成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：當(dāng)n≥2時，

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an2

＜

5

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S₃=9，得a₂=3，由a₁+2、a₂+3、a₃+7成等比數(shù)列，解得d=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由

1

an2

=

1

(2n-1)2

=

1

4n2-4n+1

＜

1

4n2-4n

=

1

4

(

1

n-1

-

1

n

)，利用裂項(xiàng)求和法能夠證明當(dāng)n≥2時，

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an2

＜

5

4

．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵S₃=9，∴a₂=3，
∴a₁+2=3-d+2=5-d，
a₂+3=6，a₃+7=3+d+7=10+d，
∵a₁+2、a₂+3、a₃+7成等比數(shù)列，
∴（5-d）（10+d）=36，解得d=2，或d=-7（舍去），
a_n=3+（n-2）×2=2n-1．
（Ⅱ）∵

1

an2

=

1

(2n-1)2

=

1

4n2-4n+1

＜

1

4n2-4n

=

1

4n(n-1)

=

1

4

(

1

n-1

-

1

n

)，
∴當(dāng)n≥2時，

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an2

＜1+

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]
=1+

1

4

(1-

1

n

)＜1+

1

4

=

5

4

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．