關于自然數2160,回答下列問題:
(1)它有多少個不同的正因數?
(2)它的所有正因數的和等于多少?
解:(1)∵2160=24×33×5, ∴2160的正因數的通式為p=2a·3b·5c,其中a∈{0,1,2,3,4},b∈{0,1,2,3),c∈{0,1},于是,要得到一個確定的因數必須而且只需確定冪指數a、b、c的值,這可以分三個步驟完成:第一步確定a的值有5種;第二步確定b的值有4種;第三步確定c的值有2種. 又因為確定了一組a、b、c的值,就確定了唯一的一個因數,而不同的值(即a、b、c中至少有一個不同),對應不同的因數,所以2160的正因數個數為5×4×2=40個. (2)因為分別計算40個正因數的值,再把它們相加比較繁雜,所以將它們用分組分解法進行因式分解以便簡化計算,又因為每個因數都是三種不同底數冪的乘積,所以考查式子: (1+2+22+23+24)(1+3+32+33)(1+5). 將其展開有40項,每一項就是2160的一個正因數,不同的項是不同的正因數.于是
答:2160有40個正因數;它們的和為7440. 點評:善于聯(lián)想找到等價命題是解決本題的關鍵,而第一問勿忘指數為0的情況.
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