在等式cos2x=2cos2x-1的兩邊對x求導（cos2x）′=（2cos2x-1）′。由求導法則得（-sin2x）·2=4cosx·（-sinx），化簡后得等式sin2x=2sinxcosx。
（1）利用上述想法（或者其他方法），試由等式（x∈R，整數(shù)n≥2）證明：。
（2）對于整數(shù)，n≥3，求證：
（i）；
（ii）；
（iii）。

解：（1）在等式

兩邊對x求導得

移項得
   （*）；
（2）（i）在（*）式中，令x=-1
整理得
；
（ii）由（1）知
兩邊對x求導，得

在上式中令x =-1，得

即
亦即
又由（i）知
由①+②得；
（iii）將等式
兩邊在[0，1]上對x積分

由微積分基本定理，得

所以。

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    （1）利用上題的想法（或其他方法），結合等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈R，正整數(shù)n≥2），證明：n[(1+x)n-1-1]=
    n
    k=2
    k
    C
    k
    n
    xk-1    ．
    （2）對于正整數(shù)n≥3，求證：
    （i）
    n
    k=1
    (-1)kk
    C
    k
    n
    =0    ；
    （ii）
    n
    k=1
    (-1)kk2
    C
    k
    n
    =0    ；
    （iii）
    n
    k=1
    1
    k+1
    C
    k
    n
    =
    2n+1-1
    n+1
    ．

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    (Ⅰ)利用上述想法（或者其他方法），試由等式（x∈R，整數(shù)n≥2），證明：；
    (Ⅱ)對于整數(shù)n≥3，求證：
    (ⅰ)；
    (ⅱ)；
    (ⅲ)。

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    （1）利用上題的想法（或其他方法），結合等式（1+x）n=Cn+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈R，正整數(shù)n≥2），證明：．
    （2）對于正整數(shù)n≥3，求證：
    （i）；
    （ii）；
    （iii）．

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    （2）對于正整數(shù)n≥3，求證：
    （i）；
    （ii）；
    （iii）．

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