【題目】已知圓，，動圓與圓、都相切，則動圓的圓心軌跡的方程為________；直線與曲線僅有三個公共點，依次為、、，則的最大值為________.

【答案】或

【解析】

分兩種情況討論①圓與圓外切，與圓內(nèi)切；②圓與圓、都內(nèi)切.利用橢圓的定義可求得軌跡的方程；由直線與曲線僅有三個公共點，可知直線與橢圓相切，對直線的斜率是否存在進行分類討論，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用弦長公式結合不等式的性質(zhì)可求得的最大值.

已知圓，，則圓內(nèi)含于圓，

圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.

設動圓的半徑為，分以下兩種情況討論：

①圓與圓外切，與圓內(nèi)切，

由題意可得，，

此時，圓的圓心軌跡是以、分別為左、右焦點，長軸長為的橢圓，

，，則，此時，軌跡的方程為；

②圓與圓、都內(nèi)切，且，

由題意可得，，

此時，圓的圓心軌跡是以、分別為左、右焦點，長軸長為的橢圓，

，，，此時，軌跡的方程為；

綜上所述，軌跡的方程為或；

由于直線與曲線僅有三個公共點，則直線與橢圓相切.

①若直線的斜率不存在時，直線的方程為，

可設直線的方程為，聯(lián)立，解得，此時；

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

聯(lián)立，消去并整理得，

，可得，

設點、，聯(lián)立，消去并整理得，

，

由韋達定理得，，

，

，當且僅當時，取得最大值.

故答案為：或；.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】

大學生是國家的未來，代表著國家可持續(xù)發(fā)展的實力，能夠促進國家綜合實力的提高.據(jù)統(tǒng)計，2016年至2020年我國高校畢業(yè)生人數(shù)y(單位：萬人)的數(shù)據(jù)如下表：

年份

2016

2017

2018

2019

2020

年份代號x

16

17

18

19

20

高校畢業(yè)生人數(shù)y(單位：萬人)

765

795

820

834

874

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算y與x的相關系數(shù)r，并說明y與x的線性相關性的強弱.

(已知：，則認為y與x線性相關性很強；，則認為y與x線性相關性一般；，則認為y與x線性相關性較弱)

（2）求y關于x的線性回歸方程，并預測2022年我國高校畢業(yè)生的人數(shù)(結果取整數(shù)).

參考公式和數(shù)據(jù)：，，，，，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解某校學生參加社區(qū)服務的情況，采用按性別分層抽樣的方法進行調(diào)查.已知該校共有學生960人，其中男生560人，從全校學生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區(qū)服務時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

超過1小時

不超過1小時

男

20

8

女

12

m

（1）求m，n；

（2）能否有95%的把握認為該校學生一周參加社區(qū)服務時間是否超過1小時與性別有關？

（3）從該校學生中隨機調(diào)查60名學生，一周參加社區(qū)服務時間超過1小時的人數(shù)記為X，以樣本中學生參加社區(qū)服務時間超過1小時的頻率作為該事件發(fā)生的概率，求X的分布列和數(shù)學期望.

附：

P（K2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

K2.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的長軸長為，且離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設橢圓的左焦點為，點是橢圓與軸負半軸的交點，經(jīng)過的直線與橢圓交于點，經(jīng)過且與平行的直線與橢圓交于點，若，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2020年新型冠狀病毒肺炎蔓延全國，作為主要戰(zhàn)場的武漢，僅用了十余天就建成了“小湯山”模式的火神山醫(yī)院和雷神山醫(yī)院，再次體現(xiàn)了中國速度.隨著疫情發(fā)展，某地也需要參照“小湯山”模式建設臨時醫(yī)院，其占地是出一個正方形和四個以正方形的邊為底邊、腰長為400m的等腰三角形組成的圖形（如圖所示），為使占地面積最大，則等腰三角形的底角為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著經(jīng)濟模式的改變，微商和電商已成為當今城鄉(xiāng)一種新型的購銷平臺.已知經(jīng)銷某種商品的電商在任何一個銷售季度內(nèi)，每售出噸該商品可獲利潤萬元，未售出的商品，每噸虧損萬元.根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗，得到一個銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖如圖所示.已知電商為下一個銷售季度籌備了噸該商品.現(xiàn)以（單位：噸，）表示下一個銷售季度的市場需求量，（單位：萬元）表示該電商下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該商品獲得的利潤.

（1）將表示為的函數(shù)，求出該函數(shù)表達式；

（2）根據(jù)直方圖估計利潤不少于57萬元的概率；

（3）根據(jù)頻率分布直方圖，估計一個銷售季度內(nèi)市場需求量的平均數(shù)與中位數(shù)的大�。ūＡ舻叫�(shù)點后一位）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上各點的橫坐標都縮短為原來的倍，縱坐標坐標都伸長為原來的倍，得到曲線，在極坐標系（與直角坐標系取相同的單位長度，且以原點為極點，以軸非負半軸為極軸）中，直線的極坐標方程為．

（1）求直線和曲線的直角坐標方程；

（2）設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)如下變換得到：先將圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），再將所得到的圖像向右平移個單位長度.

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式，并求其圖像的對稱軸方程；

（Ⅱ）已知關于的方程在內(nèi)有兩個不同的解．

（1）求實數(shù)m的取值范圍；

（2）證明：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知

（1）當時，求的最大值；

（2）若存在使，得關于的方程有三個不相同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.

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